Kezdőlap


Feladat:	1638. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bereznai Miklós , Horváth István , Krausz Ferenc , Umann Gábor
Füzet:	1980/december, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Arkhimédész törvénye, Ideális gáz állapotegyenlete, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: 1638. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az edény keresztmetszetét $A_{1}$ -gyel, a hengerét $A_{2}$ -vel, a hengerben levő levegő magasságát $h$ -val, a henger feneke és a higanyfelszín közti távolságot $l$ -lel.
Egyensúly esetén a henger fenekére ható külső és belső nyomás egyezik meg, így a bezárt levegő nyomása kezdetben: $p_{1} = p_{0} + l γ_{Hg}$ , ahol $p_{0}$ a külső légnyomás, $γ_{Hg}$ pedig a higany fajsúlya.

Ha a hőmérsékletet

T_{1}

-ről

T_{2}

-re emeljük, akkor a bezárt levegő kitágul, s a henger

x

emelkedésével a higanyszint magassága

x \cdot (A_{2} / A_{1})

-gyel nő. A belső nyomás ekkor

\begin{matrix} p_{2} = p_{0} + [l - x + x (A_{2} / A_{1})] γ_{Hg} . \end{matrix}

Alkalmazva az egyesített gáztörvényt:

\begin{matrix} \frac{p_{1} A_{2} h}{T_{1}} = \frac{p_{2} A_{2} (h + x)}{T_{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{(p_{0} + l γ_{Hg}) h}{T_{1}} = \frac{[p_{0} + (l - x + \frac{A_{2}}{A_{1}} \cdot x) γ_{Hg}] (h + x)}{T_{2}} . \end{matrix}

(1)

Adatainkat (

T_{1} = 0^{\circ} C

T_{2} = 47^{\circ} C

A_{1} = 20 {cm}^{2}

A_{2} = 10 {cm}^{2}

l = h = 20 cm

) behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} x \approx 4 cm. \end{matrix}

Tehát ennyit emelkedik a henger a hőmérséklet növelésével.
A hengerben levő levegő súlya elhanyagolható, ezért a fonál a bezárt levegővel megegyező magasságú higany nyomásával tart egyensúlyt. A fonálerő tehát kezdetben

F_{1} = A_{2} h γ_{Hg} \approx 2, 7 kp

, melegítés után

F_{2} = A_{2} (h + x) γ_{Hg} \approx 3, 2 kp

.
Számítsuk ki, hogyan függ

x

az edény méretéből.
Az (1) egyenletben

A_{1}

-et és

A_{2}

-t paraméterként meghagyva

x

-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x^{2} + (20 + 96 \frac{A_{1}}{A_{2} - A_{1}}) x - 330 \frac{A_{1}}{A_{2} - A_{1}} = 0, \end{matrix}

tehát a henger helyzete a következőképpen függ az edény és a henger keresztmetszetétől:

\begin{matrix} x = \frac{48 A_{1}}{A_{1} - A_{2}} - 10 - \sqrt[]{{(\frac{48 A_{1}}{A_{2} - A_{1}} + 10)}^{2} + 330 \frac{A_{1}}{A_{2} - A_{1}}} . \end{matrix}

A_{1} = \infty

, akkor

x = 4, 6 cm

, ha pedig

A_{1} = A_{2}

, akkor

x = 3, 4 cm

. Vizsgáljuk meg az egyensúlyi helyzet stabilitását!
A fenékre ható erő

0^{\circ} C

-on a

Δ x

elmozdulás függvényében

\begin{matrix} K = A_{2} {Δ x \frac{A_{1} - A_{2}}{A_{1}} γ_{Hg} - [(p_{0} + l γ_{Hg}) - (p_{0} + l γ_{Hg}) \frac{h}{h + Δ x}]} . \end{matrix}

Δ x

infinitezimális, akkor

\begin{matrix} K / Δ x = A_{2} [\frac{A_{1} - A_{2}}{A_{1}} γ_{Hg} - \frac{1}{h} (p_{0} + l γ_{Hg})] . \end{matrix}

A megadott értékeknél

K / Δ x

negatív, így az egyensúlyi helyzet stabil, hiszen az elmozdulással ellentétes visszatérítő erő lép fel. Ugyanez a helyzet

47^{\circ} C

-on is. Megjegyzendő, hogy elég nagy

h

-t választva az egyensúlyi helyzet labilissá tehető.

Horváth István (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján