Feladat:	1633. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/december, 230 - 231. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Tehetetlenségi nyomaték, Egyéb egyenletesen változó mozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: 1633. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az ábra alapján fölírhatjuk a mozgásegyenleteket: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle ma=mg-F\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle \Theta \beta =Fr\mathrm{.}}\hfill & \text{(2)}\end{array}}$ ($\Theta$ a korong tehetetlenségi nyomatéka, $\beta$ a szöggyorsulás.) Szokásos feltételezni, hogy a fonál tapad a korongra, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\beta r\mathrm{.}}\end{array}$ (3)     A feladatban megadták $m$-et, $F$-et és azt, hogy korongról van szó, azaz $\Theta$-t és így ismeretlenünk csak $a$ és $\beta$, vagyis az egyenletrendszer túlhatározott; a megadott adatokkal vagy van megoldása vagy ellentmondásos. A megadott értéket behelyettesítve könnyű megmutatni, hogy ellentmondásos az egyenletrendszerünk. Több megoldás kínálkozik az ellentmondás feloldására. Vizsgáljuk meg ezeket.   I. Feltételezzük, hogy nem szokásos korongról van szó, azaz $\Theta \ne \left(1/2\right)m{r}^2$. Fejezzük ki $\Theta$-t (1), (2), (3)-ból: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =\frac{F}{mg-F}m{r}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve értékeinket, $\Theta =5m{r}^2$ adódik. Nyilvánvaló, hogy olyan $m$ tömegű, $r$ sugarú korong alakú test nincs, aminek ekkora a tehetetlenségi nyomatéka, hiszen még ha a teljes tömeget a kerületen helyezzük el, akkor is csak $\Theta =m{r}^2$ a tehetetlenségi nyomatéka. Ez az út tehát nem járható.   II. Tegyük fel, hogy a kötél súlyos és a letekerendő rész tömege elhanyagolható a korongon maradó rész tömegéhez képest, valamint (csak számolási könnyebbség miatt), hogy a korong teljes tömege a kerületen van elhelyezve. Ekkor újra felírhatjuk az (1)‐(3) egyenleteket, csak $m$ helyébe $\left(m+M\right)$ kerül, ahol $M$ a kötél tömege, a tehetetlenségi nyomatéknak $\Theta =\left(m+M\right)r^2$-t veszünk. Az egyenletben most már $3$ ismeretlen van, amiket könnyen meghatározhatunk: $M=2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$, $a=g/2$. Ebben az esetben a $2$ méteres utat a korong $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2s}{a}}=0\mathrm{,}89\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}\end{array}$ alatt teszi meg.   III. Azt is feltételezhetjük, hogy a dinamométert mozgatjuk. Ebben az esetben a (3) egyenlet érvényét veszti, azaz a gyorsulás egyértelműen kiszámítható, és a leérési idő is: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2s}{a}}=\sqrt[]{\frac{2s}{g-\left(F/m\right)}}\approx 1\mathrm{,}6\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}\mathrm{.}}\end{array}$