Kezdőlap


Feladat:	1631. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Ottó , Kolláth Zoltán , Simon Miklós , Umann Gábor
Füzet:	1980/december, 227 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb időben változó mágneses mező, Toroid mágneses tere, Biot-Savart törvény, Ampere-féle gerjesztési törvény, Egyéb töltött részecskemozgás, Proton, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: 1631. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A toroid áramának csökkentése a tekercs keresztmetszetén időben változó mágneses indukciót hoz létre, amely maga körül elektromos erőteret indukál. Az indukált feszültség nagyságát a Faraday-törvényből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} U = \frac{Δ Φ}{Δ t}, \end{matrix}

(1)

ahol a toroid-tekercs keresztmetszetén áthaladó mágneses fluxus

Φ = B a = \frac{μ_{0} N a}{2 π R} I

. Egyenletes időbeli csökkenés esetén az indukált feszültség állandó, értéke

\begin{matrix} U = \frac{μ_{0} N a}{2 π R} \frac{I}{Δ t} = 2 μ V . \end{matrix}

(2)

Szimmetria okokból a toroid körül gyűrűszerű az elektromos térerősség, amely a toroid tengelyében tengelyirányúvá válik. A protonra ez az elektromos térerősség hat, így a részecske a toroid tengelyének irányában mozog. Az elérhető végsebességet az energiatételből határozhatjuk meg: nyugalomból indulva

(1 / 2) m v^{2}

mozgási energiára tesz szert

(1 / 2) e U

elektromos munkavégzés hatására (

m

a proton tömege,

e

a töltése,

v

a végsebessége). Az elektromos tér által végzett munka felírásánál figyelembe vettük azt, hogy a proton a toroid középkörének középpontjából indul, ezért a tengely által kijelölt térrész

(- \infty \to + \infty)

felét

(0 \to + \infty)

futhatja csak be. Az így leírt, időben állandó térerősség-kép azonban csak az áramerősség-változás

Δ t

idejéig érvényes. Ha ezen idő alatt a proton olyan messze kerül a középponttól, hogy ott már elhanyagolható a térerősség a középpontban mérthez képest, akkor a végsebesség:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{e U}{m}} = 14 m/s. \end{matrix}

(3)

Az elektromos térerősségnek a tengely menti változását leírhatjuk a Biot-Savart-törvény formális átírásával. Erre az ad lehetőséget, hogy az első és a második Maxwell-törvény alakilag azonos, ha a mágneses térerősségnek (

H

-nak) az elektromos térerősséget (

E

-t), az áramerősségnek (

I

-nek) az indukált feszültséget (

U

-t) feleltetjük meg. Az köráram által keltett mágneses térerősség a kör középpontjától

x

távolságban levő tengelypontban (l. pl. Budó: Kísérleti Fizika II. kötet 128. oldal):

\begin{matrix} H = \frac{R^{2}}{2 {(R^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} I, \end{matrix}

(4)

ami esetünkre alkalmazva

\begin{matrix} E = \frac{R^{2}}{2 {(R^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} U \end{matrix}

(5)

kifejezéssé alakítható az Ampére-féle gerjesztési törvény és a Faraday-féle indukciós törvények formális analógiáját felhasználva. Az elektromos térerősség, így a protonra ható erő is, rohamosan csökken (

E \sim const / x^{3}

, ha

R ≪ x

), a középpontból kiindulva. A proton mozgásegyenlete

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \frac{e U}{2} \cdot \frac{R^{2}}{{(R^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

(6)

explicit alakban nem oldható meg, csak numerikus közelítéssel próbálkozhatnánk. A proton kezdeti gyorsulása

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} |_{t = 0} = \frac{e U}{2 m R} \approx 1 \cdot 10^{3} {m/s}^{2} . \end{matrix}

Az elektromos tér munkavégzése:

W = \int_{0}^{\infty} e E