Kezdőlap


Feladat:	1630. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Viktor
Füzet:	1980/december, 226 - 227. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Váltóáram teljesítménye, Induktív ellenállás, Effektív feszültség, effektív áram, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: 1630. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A váltakozó áram, illetve feszültség effektív értéke

\begin{matrix} I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt[]{2}}; U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt[]{2}}, \end{matrix}

(1)

ahol

U_{max}

ill.

I_{max}

a szinuszosan váltakozó feszültség, ill. áram amplitúdója.
Ha

I (t)

áram folyik át egy Ohm-törvényt követő vezetőn, abban kicsiny

Δ t

idő alatt

\begin{matrix} Δ Q = I^{2} (t) R Δ t \end{matrix}

hő fejlődik. A

T_{0}

idő alatt felszabaduló hőt integrálással határozhatjuk meg:

\begin{matrix} Q = \int_{0}^{T_{0}} I^{2} (t) R d t . \end{matrix}

Periodikusan váltakozó áram esetén az időegység alatt átlagosan felszabaduló hőt célszerű kiszámolni:

\begin{matrix} \bar{Q} = (1 / T) \int_{0}^{T} I^{2} (t) R d t, \end{matrix}

(2)

ahol

T

a periódusidő.
Legyen tekercsünk önindukciós együtthatója

L

, ohmikus ellenállása

R

. Folyjék a tekercsen

I_{max}

amplitúdójú szinuszosan váltakozó áram. Az átlagos hőfejlődés ekkor:

\begin{matrix} \bar{Q} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} R I_{max}^{2} sin^{2} ω t d t = \frac{R I_{max}^{2}}{T} \int_{0}^{T} sin^{2} ω t d t . \end{matrix}

Az integrál értéke

T / 2

. Ezt beírva

\begin{matrix} \bar{Q} = \frac{R I_{max}^{2}}{2}, \end{matrix}

vagy (1) alapján:

\begin{matrix} \bar{Q} = R I_{eff}^{2}, \end{matrix}

ami pontosan az

I_{eff}

értékű egyenáram hatására egységnyi idő alatt felszabaduló hőt adja meg; tehát az a) definíció helyes.
Kapcsoljunk tekercsünkre

U (t) = U_{max} sin ω t

feszültséget! Ennek hatására a tekercsben

\begin{matrix} I (t) = \frac{U_{max}}{\sqrt[]{R^{2} + ω^{2} L^{2}}} sin (ω t + φ) \end{matrix}

áram folyik. Az átlagosan felszabaduló hőt a (2) kifejezés adja meg. Az integrál értéke ugyanaz lesz, mint előbb, hiszen csupán ez előző függvény eltoltjáról van szó. Tehát

\begin{matrix} \bar{Q} = R \frac{U_{max}^{2}}{2 (R^{2} + ω^{2} L^{2})}, \end{matrix}

vagy az effektív feszültség (1) definícióját felhasználva

\begin{matrix} \bar{Q} = \frac{R}{R^{2} + ω^{2} L^{2}} \cdot U_{eff}^{2} . \end{matrix}

U_{eff}

nagyságú egyenfeszültség hatására időegység alatt

\begin{matrix} Q = \frac{U_{eff}^{2}}{R} \end{matrix}

hő szabadul fel; tehát a b) definíció hibás.

Horváth Viktor (Bp., Bolyai J. Híradásip. Szakközép. III. o. t.)