Kezdőlap


Feladat:	1627. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Glück Ferenc , Tokaji Zsolt
Füzet:	1980/november, 179 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Egyéb merev test síkmozgások, Rugalmatlan ütközések, Impulzusváltozás törvénye (Pontrendszer impulzusa), Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: 1627. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Egy kezdetben forgó és haladó test viselkedését vizsgáljuk. Megfelelő külső erő hatására forgómozgása lassul, ezzel a teljes mozgási energiája csökken, ill. haladási sebessége nő ennek során növekszik impulzusa. Így teljesülhetnek a feladat feltételei.
Tekintsünk egy konkrét példát ! $Θ$ tehetetlenségi nyomatékú, $m$ tömegű, $r$ sugarú, kezdetben $ω$ szögsebességgel és $v$ tömegközépponti sebességgel mozgó hengert vagy golyót helyezzünk vízszintes lapra. A súrlódási erő $(S)$ annyi ideig $(t)$ gyorsítja a testet, amíg gördülés nem jön létre (1. ábra). Ezután egyenletes $v'$ sebességgel és $ω'$ szögsebességgel fog mozogni.

1. ábra

A kívánt impulzus- és energiamérleg:

\begin{matrix} 2 I = 2 m v = m v' = I', & (1) \\ E = (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) Θ ω^{2} = m v'^{2} + Θ ω'^{2} = 2 E' . & (2) \end{matrix}

A tiszta gördülés feltétele:

\begin{matrix} ω' = v' / r . \end{matrix}

(3)

Az impulzus

(I)

és impulzusmomentum

(N)

megváltozását a mozgásegyenletek alapján határozhatjuk meg:

\begin{matrix} S t = I' - I = m v, & (4) \\ - S t r = N' - N = Θ (ω' - ω) . & (5) \end{matrix}

Az (1) és (3) egyenletekből

ω'

-t és

v'

-t a kezdeti adatokkal kifejezhetjük. Helyettesítsük be eredményünket egyrészt (2)-be, majd rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{7 m v^{2}}{Θ} + \frac{8 v^{2}}{r^{2}} . \end{matrix}

(6)

Másrészt helyettesítsük be előbbi eredményünket (4)-be és (5)-be, majd osszuk el (5)-öt (4)-gyel és fejezzük ki

ω

-t:

\begin{matrix} ω = \frac{2 v}{r} + \frac{m v r}{Θ} . \end{matrix}

(7)

(6) és (7) nem mondhat ellent egymásnak, ezért (7)-et négyzetre emelve a jobb oldalakat egyenlővé tehetjük.

v^{2}

-tel való egyszerűsítés után a

\begin{matrix} (4 / r^{2}) Θ^{2} + 3 m Θ - m^{2} r^{2} = 0 \end{matrix}

egyenlet adódik. Ennek megoldása

\begin{matrix} Θ = (1 / 4) m r^{2} . \end{matrix}

(8)

(7)-be helyettesítve az

\begin{matrix} ω = 6 v / r, \end{matrix}

(9)

egyenlőséghez jutunk.
Nem nehéz belátni, hogy ha egy a (8) és (9) tulajdonságokkal rendelkező (nem egyenletes sűrűségű) golyót helyezünk vízszintes lapra, akkor a kívánt feltételek valóban teljesülnek.
A súrlódási együttható konkrét értéke nem játszik szerepet a feladat megoldásában. Az

S

súrlódási erő által a tiszta gördülésig átadott impulzus független

S

nagyságától.

Glück Ferenc (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)

II. Most olyan esetet vizsgálunk,amelyben a "test'' két független részből áll. Mozogjon kezdetben az

m_{1}

tömegű rész

v_{1} (v_{1} < 0)

, az

m_{2}

tömegű rész pedig

v_{2}

sebességgel (2. ábra) !

2. ábra

Hassunk külső

F

erővel

m_{1}

-re (sebességével ellentétes irányban), amíg

v'_{1}

sebességre nem tesz szert. A másik test mozogjon zavartalanul.
A két darabból álló testre felírjuk az energia- és impulzusmegváltozás általunk kirótt feltételeit:

\begin{matrix} E = (1 / 2) m_{1} v_{1}^{2} + (1 / 2) m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} {v'}_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = 2 E'; & (10) \\ 2 I = 2 m_{1} v_{1} + 2 m_{2} v_{2} = m_{2} v_{2} + m_{1} v'_{1} = I' . & (11) \end{matrix}

Mindkét egyenletből kifejezhetjük

v'_{1}

-t:

\begin{matrix} {v'}_{1}^{2} & = \frac{v_{1}^{2}}{2} - \frac{m_{2}}{2 m_{1}} v_{2}^{2}, & (12) \\ {v'}_{1} & = 2 v_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2} . & (13) \end{matrix}

Az egyenletek nem lehetnek ellentmondóak, ezért

\begin{matrix} \frac{v_{1}^{2}}{2} - \frac{m_{2}}{2 m_{1}} v_{2}^{2} = {(2 v_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2})}^{2} . \end{matrix}

Ezt például

v_{1}

-re megoldva egy, a kezdeti adatok közötti összefüggéshez jutunk:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{v_{2} m_{2}}{7 m_{1}} (- 4 \pm \sqrt[]{2 - 7 \frac{m_{1}}{m_{2}}}) . \end{matrix}

(14)

Az impulzusnövekedést csak akkor kísérheti az összenergia csökkenése, ha

v_{1} < 0

, miközben

v_{2} > 0

. Ez (14) fennállása esetén mindig teljesül. Fenn kell még állnia a

\begin{matrix} (2 / 7) \geq m_{1} / m_{2} \end{matrix}

(15)

egyenlőtlenségnek.
(13)-ba (14) alapján

v_{1}

-et behelyettesíthetjük:

\begin{matrix} v'_{1} = \frac{v_{2} m_{2}}{7 m_{1}} (- 1 \pm 2 \sqrt[]{2 - 7 \frac{m_{1}}{m_{2}}}) . \end{matrix}

(16)

A szükséges külső

F

erőhatás

t

ideig tart. Ezalatt

m_{1}

felveszi a

v'_{1}

sebességet:

\begin{matrix} F t = m_{1} (v'_{1} - v_{1}) = \frac{v_{2} m_{2}}{7} (3 \pm \sqrt[]{2 - 7 \frac{m_{1}}{m_{2}}}) . \end{matrix}

(17)

Eszerint mindig

F > 0

kell, hogy legyen.
A fentiek alapján könnyen látható, hogy ha a (14) és (15) feltételeket kielégítő kezdeti állapot után az

m_{1}

tömegű testnek (17) szerinti

F t

impulzust adunk, akkor az összimpulzus kétszeresére nő, míg a teljes mozgási energia a felére csökken.

III. A harmadik eset leírásakor tágabban értelmezzük a feladatot. Az energiacsökkenést ne közvetlenül a külső erő okozza, hanem belső disszipáció. Ilyen lehet a rugalmatlan ütközés.
A 3. ábra szerint mozogjon egy

m_{1}

tömegű test

v

sebességgel a nyugvó

m_{2}

test felé, majd ütközzenek rugalmatlanul.

3. ábra

A közös

v^{*}

sebességük felvétele után impulzusukat kétszeresére növelő külső erővel hassunk rájuk. Az ütközést az impulzusmegmaradással írhatjuk le:
A kívánt feltételek:

\begin{matrix} 2 I = 2 (m_{1} + m_{2}) v^{*} = (m_{1} + m_{2}) v' = I', & (19) \\ E = (1 / 2) m_{1} v^{2} = (m_{1} + m_{2}) {v'}^{2} = 2 E', & (20) \end{matrix}

ahol

v'

a gyorsítás utáni sebesség és

E = (1 / 2) m_{1} v^{2}

a teljes rendszer mozgási energiája az ütközés előtt.
(19) és (20)-ból (18) felhasználásával

v'

-t kifejezzük.

\begin{matrix} v' = \frac{2 m_{1} v}{m_{1} + m_{2}}, ill. {v'}^{2} = \frac{m_{1} v^{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} . \end{matrix}

Akkor nem jutunk ellentmondásra, ha

\begin{matrix} {(\frac{2 m_{1} v}{m_{1} + m_{2}})}^{2} = \frac{m_{1} v^{2}}{2 (m_{1} + m_{2})}, \end{matrix}

azaz, ha

\begin{matrix} m_{2} = 7 m_{1} . \end{matrix}

Ebben az esetben

v

kezdősebesség mellett az ütközés után

v^{*} = v / 8

lesz a közös sebesség. (19) alapján

v' = v / 4

, azaz

(v / 8)

-ról

(v / 4)

-re kell a

8 m_{1}

tömegű testet felgyorsítanunk. Ezzel összhangban van az

\begin{matrix} F t = m_{1} v . \end{matrix}

(21)

egyenlőség.
Valósítsuk meg a kezdeti állapotot nehézségi erőtérben! Az

m_{1}

tömegű test legyen a nagyobb test fölött, és indítsuk

v

, lefelé irányuló kezdősebességgel, míg a másik testet csak elengedjük. Az ütközésig

v

marad relatív sebességük.
Pongyolán fogalmazva, az "egész test''-re

F = 8 m_{1} g

erő hat. (21) szerint ennek

t = v / (8 g)

ideig kell hatnia. Ha ezalatt már egymáshoz tapadtak a testek, akkor a

t

pillanatban a feladat feltételeinek eleget tesz a rendszer. Ha

t

kicsi, akkor

m_{1}

-et

m_{2}

-höz közelebbről kell indítani.

Tokaji Zsolt (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o.t.)

Megjegyzés. Olyan megoldás legfeljebb 1 pontot kaphatott, amelyben a vizsgált test tömege a folyamat közben "nőtt meg'', például azáltal, hogy rátettek egy másikat.