Feladat:	1626. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Tünde ,  Bocsák András ,  Bozsó Péter ,  Csoknyay Zsolt ,  Horváth Viktor ,  Károlyi Gyula ,  Kiss Ernő ,  Kuna János ,  Meleg Béla ,  Mocsányi Géza ,  Oszlányi Gábor ,  Seregdy Tamás ,  Sűrű László ,  Temesi László ,  Végh Éva
Füzet:	1980/november, 177 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Fermat-elv, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: 1626. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. A műútról a $P$ pontban térjen le a traktor. Sebessége a műúton $v_1=30\text{ km/h}$, a szántón $v_2=15\text{ km/h}$. A műúton való haladás $t_1$ ideje az 1. ábra alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\frac{a-x}{v_1}\mathrm{.}}\end{array}$     1. ábra   Világos, hogy a szántón a traktornak egyenes úton kell haladnia. Így a szántón megtett út hossza: $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\sqrt[]{b^2+x^2}\mathrm{,}}\end{array}$ a szántóföldön haladás ideje $t_2=s/v_2$. A $t=t_1+t_2$ idő minimumát keressük. A $t\left(x\right)$ függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol $\frac{\text{d}t\left(x\right)}{\text{d}x}=0$. Végezzük el a deriválást: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}t\left(x\right)}{\text{d}x}=-\frac{1}{v_1}+\frac{x}{v_2\sqrt[]{b^2+x^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ A szélsőérték helyre teljesülnie kell, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{1}{v_1}+\frac{x}{v_2\sqrt[]{b^2+x^2}}=0.}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=x_0=\sqrt[]{\frac{v_1^2}{v_1^2-v_2^2}}b\mathrm{,}\text{ha}{v}_1>v_2\mathrm{.}}\end{array}$ Nem nehéz belátni, hogy $x>x_0$ esetén $\frac{\text{d}t\left(x\right)}{\text{d}x}>0$, $0<x<x_0$ esetén pedig $\frac{\text{d}t\left(x\right)}{\text{d}x}<0$, így az $x=x_0$ helyen $t\left(x\right)$ valóban minimális. A megadott értékekkel $x_0=\sqrt[]{3}$ km. Tehát a műúton megtett út $\begin{array}{c}{\displaystyle y-\left(12-\sqrt[]{3}\right)\text{ km}\approx 10\mathrm{,}27\text{ km}\mathrm{.}}\end{array}$ Megemlítjük, hogy $v_1\le v_2$ esetén nyilvánvaló, hogy a traktornak azonnal le kell térnie az útról és egyenesen kell haladnia az $A$ pontból $B$ felé.    Bálint Tünde (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., III. o. t.)     II. megoldás. Ha van két fényáteresztő közegünk, a fény úgy halad át rajtuk, hogy teljesül az ún. Fermat elv, mely szerint a fénysugár valóban megtett útja két pont között, a lehetséges utak közül a minimális időtartamú.     2. ábra   Ebből adódik a fénytörésre vonatkozó Snellius‐Descartes törvény, amely szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha /\text{sin}\beta =v_1/v_2\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $v_1$ és $v_2$ a terjedési sebességek a két közegben (2. ábra). A fentieket megfontolva az (1) képletet alkalmazhatjuk jelen feladatunkra is. Esetünkben $\alpha ={90}^{\circ }$, tehát $\text{sin}\alpha =1$. A $v_1/v_2$ arány a feladat alapján 2. Ezek alapján ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{sin}\beta =1/\mathrm{2,}\beta ={30}^{\circ }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=b\text{tg}\beta =\sqrt[]{3}\text{km}\left(\approx 1\mathrm{,}73\text{ km}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     3. ábra    Károlyi Gyula (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)     Megjeqyzés. Többen közelítő módszerrel keresték meg a minimumot. A megfelelő pontosságú eredményeket helyes megoldásként értékeltük.