Kezdőlap


Feladat:	1623. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagoly Zsolt , Horváth István , Krausz Ferenc , Liszkay László , Szalontai Zoltán , Umann Gábor
Füzet:	1980/november, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áram hőhatása (Joule-hő), Egyéb változó áram, Kondenzátorok soros kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: 1623. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kondenzátorok adatait rendre $C_{1}$ , $C_{2}$ ; $Q_{1}$ , $Q_{2}$ ; $U_{1}$ , $U_{2}$ -vel. Összekapcsolásuk után a töltésvándorlás addig tart, amíg a kondenzátorok feszültsége kiegyenlítődik. Jelöljük $U_{k}$ -val a közös feszültséget, ekkor a töltésmegmaradás miatt:

\begin{matrix} C_{1} U_{1} + C_{2} U_{2} = (C_{1} + C_{2}) U_{k}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} U_{k} = \frac{C_{1} U_{1} + C_{2} U_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

Az összekötő vezetékeken fejlődő hő a kondenzátorok összenergiájának csökkenéséből származik:

\begin{matrix} Δ E = (1 / 2) C_{1} U_{1}^{2} + (1 / 2) C_{2} U_{2}^{2} - (1 / 2) (C_{1} + C_{2}) U_{k}^{2} = \frac{1}{2} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} {(U_{2} - U_{1})}^{2} . \end{matrix}

A feladat szerint

U_{2} = - U_{1} = U

, így a felszabaduló hő

(Q^{*})

\begin{matrix} Q^{*} = Δ E = \frac{2 C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U^{2} . \end{matrix}

(1)

Látjuk, hogy ennek nagyságát

R

(nullától különböző) értéke nem befolyásolja,

R

csak a töltéskiegyenlítődés idejét szabja meg.

R

növekedésével ugyanis a körben folyó áramerősség csökken, ami azt jelenti, hogy az adott mennyiségű ‐ csupán a kondenzátorok kezdeti feszültségétől függő ‐ töltés átáramlásához egyik kondenzátorról a másikra hosszabb időre lesz szükség.

Szalontai Zoltán (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Az

R

ellenálláson fejlődő hőt más úton is kiszámíthatjuk. Ez a számolás kissé bonyolultabb, ezzel szemben explicit kifejezést kapunk, hogyan függ a folyamat időtartama

R

-től.
Az összekapcsolás utáni

t

időpontban a huroktörvényből:

\begin{matrix} \frac{Q_{1} (t)}{C_{1}} + \frac{Q_{2} (t)}{C_{2}} = I (t) R, ahol Q_{1} (t) = Q_{1} - \int_{0}^{t} I (t') d t', Q_{2} (t) = Q_{2} - \int_{0}^{t} I (t') d t' \end{matrix}

a kondenzátorok töltései,

I (t)

pedig a körben folyó áramerősség. Ezek felhasználásával a fenti egyenlet így alakul:

\begin{matrix} \frac{Q_{1}}{C_{1}} + \frac{Q_{2}}{C_{2}} - (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}) \int_{0}^{t} I (t') d t' = I (t) R . \end{matrix}

Differenciáljuk mindkét oldalt

t

szerint:

\begin{matrix} - (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}) I (t) = \frac{d I (t)}{d t} R . \end{matrix}

(2)

Figyelembe véve, hogy

I (0) = \frac{U_{2} - U_{1}}{R}

, (2) megoldása

\begin{matrix} I (t) = \frac{U_{2} - U_{1}}{R} e^{- t / (R C)}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} C = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy ez az

I (t)

függvény valóban kielégíti a (2) differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt. A (2) differenciálegyenlet esetében elemi úton is könnyen belátható, hogy adott kezdeti feltételt kielégítő megoldása egyértelmű.
Látjuk, hogy a folyamat sebességét a

τ = R C

időállandó jellemzi, ami

R

-rel arányos.

τ

idő alatt a kezdeti

\frac{U_{2} - U_{1}}{R}

áramerősség kb. 1/3-ára csökken, de a zérus értéket elméletileg csak végtelen hosszú idő alatt éri el. Ezek után a fejlődő hőt

(Q^{*})

így számíthatjuk ki:

\begin{matrix} Q^{*} = \int_{0}^{\infty} I^{2} (t) R d t = \frac{{(U_{2} - U_{1})}^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / (R C)} d t = \frac{{(U_{2} - U_{1})}^{2}}{2} C . \end{matrix}

U_{2} = - U_{1} = U

helyettesítéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} Q^{*} = 2 U^{2} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}}, \end{matrix}

ami megegyezik (1)-gyel.

Krausz Ferenc (Mór, Táncsics M. Gimn., IV. o. t.)