Kezdőlap


Feladat:	1621. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakonyi Gábor , Horváth Gábor , Hudi István , Kiss Ernő , Kolláth Zoltán , Szilárd Mónika , Umann Gábor , Várhelyi Tamás , Várkonyi Béla
Füzet:	1980/november, 171 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékhozam, Bernoulli-törvény, Egyéb egyenletesen változó mozgás, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: 1621. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tartály egyenletesen telik, ha csak az $A$ csap van nyitva. Jelöljük $q_{A}$ -val a csap keresztmetszetét, $v_{A}$ -val a rajta átfolyó víz sebességét, $T$ -vel a hasáb vagy henger alakú edény alapterületét. Ekkor az edénybe időegység alatt $q_{A} v_{A}$ térfogatú víz folyik be, azaz a pillanatnyi vízmagasságot $h$ -val jelölve

\begin{matrix} \frac{T h}{t} = q_{A} v_{A} . \end{matrix}

(1)

H

magasságot

t_{A}

idő alatt éri el a vízszint, ezért

\begin{matrix} \frac{T H}{t_{A}} = q_{A} v_{A} . \end{matrix}

(2)

Zárjuk el az

A

és nyissuk ki a

B

csapot. Tegyük fel, hogy a tartály alapterületéhez képest jóval kisebb a csap

q_{B}

keresztmetszete. Ekkor a kifolyás közben az edényben levő víz mozgási energiája elhanyagolható. A nehézségi erő által a teljes víztömegen végzett munka csak az időegység alatt kifolyó,

q_{B} v_{B}

térfogatú víz mozgási energiáját növeli. Ez a munka megegyezik azzal, amit a nehézségi erő akkor végez, ha a

h

magasságú vízoszlop felszínéről az adott térfogatú vizet az edény alján levő csaphoz visszük. Ezért

\begin{matrix} v_{B} = \sqrt[]{2 g h} . \end{matrix}

(3)

Ez Torricelli tétele. (A veszteségektől eltekintettünk).
Ha kicsiny

Δ t

idő alatt a vízmagasság

Δ h

-val csökken, akkor a

v_{B}

sebességet ezalatt állandónak tekintve írhatjuk:

\begin{matrix} T Δ h = - q_{B} v_{B} Δ t, \end{matrix}

így a

Δ t \to 0

határátmenettel kapjuk, hogy a magasság időegységre eső csökkenését a

\begin{matrix} \frac{T d h}{d t} = - q_{B} v_{B} = - q_{B} \sqrt[]{2 g h} \end{matrix}

(4)

egyenlet írja le.
Határozzuk meg ennek alapján a

q_{B}

keresztmetszetet. Célszerű

t = 0

időpontnak venni azt a pillanatot, amikor az edény éppen kiürült, továbbá

t

helyett bevezetni

τ = - t

változót. Ekkor

τ = t_{B}

(azaz

t = - t_{B}

) esetén lesz a

h

magasság

H

, továbbá a (4) egyenlet így írható:

\begin{matrix} \frac{d h}{d τ} = \sqrt[]{2 \frac{q_{B}^{2}}{T^{2}} g} \cdot \sqrt[]{h} . \end{matrix}

(5)

Tehát olyan

h (τ)

függvényt keresünk, amely kielégíti az (5) összefüggést (differenciálegyenletet) és a

h (0) = 0

kezdeti feltételt. Ugyanilyen típusú egyenletnek tesz eleget az egyenletesen gyorsuló mozgás út‐idő függvénye:

\begin{matrix} \frac{d x}{d t} = \sqrt[]{2 a x}, \end{matrix}

ahol

a

a gyorsulás, ennek az

x (0) = 0

kezdeti feltételt kielégítő megoldása:

\begin{matrix} s = (a / 2) t^{2} . \end{matrix}

Ennek alapján várható, hogy

\begin{matrix} h (τ) = (1 / 2) (q_{B}^{2} / T^{2}) g \cdot τ^{2}, \end{matrix}

és ez valóban kielégíti az (5) egyenletet, valamint a

h (0) = 0

kezdeti feltételt. Matematikai és fizikai megfontolásokkal be lehet bizonyítani, hogy a magasságot leíró

h (τ)

nem lehet más. Így

τ = t_{B}

helyettesítéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} H = \frac{1}{2} g \frac{q_{B}^{2}}{T^{2}} t_{B}^{2}, \end{matrix}

(6)

ahonnan

\begin{matrix} q_{B} = \sqrt[]{\frac{2 H}{g}} \frac{T}{T_{B}} . \end{matrix}

(7)

Nyissuk ki mindkét csapot ! Tegyük föl, hogy az

A

csapból kifolyó víz mozgási energiája a

B

csapon kifolyó víz kinetikus energiáját nem növeli (pl. a befolyó víz energiája teljes egészében hővé alakul), azaz a (3) egyenlet változatlanul érvényes. Eszerint

h = 0

kezdeti vízszintnél csak befolyik a víz az edénybe, de ki nem folyik belőle. A vízmagasság addig növekszik, amíg az időegység alatt ki- és befolyó vízmennyiség meg nem egyezik. A (2), a (4) és a (7) egyenletek alapján ekkor

\begin{matrix} 0 = q_{A} v_{A} - q_{B} v_{B} = \frac{T H}{t_{A}} - \sqrt[]{\frac{2 H}{g}} \frac{T}{t_{B}} \sqrt[]{2 g h^{*}} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} h^{*} = \frac{H}{4} \frac{t_{B}^{2}}{t_{A}^{2}} . \end{matrix}

A vízmagaság ezen a szinten stabilizálódik, ha

h^{*} \leq H

, azaz

t_{B} < 2 t_{A}

. Ellenkező esetben az egyensúlyi magasság

H

-nál nagyobb lenne, ekkor a tartály megtelik és állandóan víz folyik ki az oldalán.

Szilárd Mónika (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)
és Horváth Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A (2), (4) és (7) egyenletek alapján abban az esetben, ha mindkét csap nyitva van, a magasságváltozást a

\begin{matrix} \frac{d h}{d t} = \frac{H}{t_{A}} - \frac{2 \sqrt[]{H}}{t_{B}} \sqrt[]{h} . \end{matrix}

differenciálegyenlet írja le. Ennek alapos vizsgálatával a következőket lehet igazolni. A

h (t)

függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken attól függően, hogy a folyamat kezdeti pillanatában a magasság kisebb vagy nagyobb-e, mint a

h^{*} = \frac{H}{h} \frac{t_{B}^{2}}{t_{A}^{2}}

magasság. Mindkét esetben, hacsak

h^{*} \leq H

t \to \infty

esetben

h (t)

tart a

h^{*}

értékhez, de véges idő alatt nem éri el azt. Ha

h^{*} > H

, akkor a vízszint véges idő alatt eléri a

H

magasságot, s ezután állandóan ezt a szintet tartja, miközben az edény szélén is folyik ki víz.

Az ábrán három kvalitatív

h (t)

diagramot ábrázoltunk. Az

a)

görbe a

h_{1}^{*} < H

és

h (0) = 0

, a

b)

görbe a

h_{1}^{*} < H

és

h_{1}^{*} < h (0) < H

, a

c)

görbe a

h_{2}^{*} > H

és

h (0) = 0

feltételek mellett mutatja a vízszint magasságának időfüggését.