|
Feladat: |
1621. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bakonyi Gábor , Horváth Gábor , Hudi István , Kiss Ernő , Kolláth Zoltán , Szilárd Mónika , Umann Gábor , Várhelyi Tamás , Várkonyi Béla |
Füzet: |
1980/november,
171 - 173. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Folyadékhozam, Bernoulli-törvény, Egyéb egyenletesen változó mozgás, Analógia alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/január: 1621. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A tartály egyenletesen telik, ha csak az csap van nyitva. Jelöljük -val a csap keresztmetszetét, -val a rajta átfolyó víz sebességét, -vel a hasáb vagy henger alakú edény alapterületét. Ekkor az edénybe időegység alatt térfogatú víz folyik be, azaz a pillanatnyi vízmagasságot -val jelölve A magasságot idő alatt éri el a vízszint, ezért
Zárjuk el az és nyissuk ki a csapot. Tegyük fel, hogy a tartály alapterületéhez képest jóval kisebb a csap keresztmetszete. Ekkor a kifolyás közben az edényben levő víz mozgási energiája elhanyagolható. A nehézségi erő által a teljes víztömegen végzett munka csak az időegység alatt kifolyó, térfogatú víz mozgási energiáját növeli. Ez a munka megegyezik azzal, amit a nehézségi erő akkor végez, ha a magasságú vízoszlop felszínéről az adott térfogatú vizet az edény alján levő csaphoz visszük. Ezért Ez Torricelli tétele. (A veszteségektől eltekintettünk). Ha kicsiny idő alatt a vízmagasság -val csökken, akkor a sebességet ezalatt állandónak tekintve írhatjuk: így a határátmenettel kapjuk, hogy a magasság időegységre eső csökkenését a egyenlet írja le. Határozzuk meg ennek alapján a keresztmetszetet. Célszerű időpontnak venni azt a pillanatot, amikor az edény éppen kiürült, továbbá helyett bevezetni változót. Ekkor (azaz ) esetén lesz a magasság , továbbá a (4) egyenlet így írható: Tehát olyan függvényt keresünk, amely kielégíti az (5) összefüggést (differenciálegyenletet) és a kezdeti feltételt. Ugyanilyen típusú egyenletnek tesz eleget az egyenletesen gyorsuló mozgás út‐idő függvénye: ahol a gyorsulás, ennek az kezdeti feltételt kielégítő megoldása: Ennek alapján várható, hogy és ez valóban kielégíti az (5) egyenletet, valamint a kezdeti feltételt. Matematikai és fizikai megfontolásokkal be lehet bizonyítani, hogy a magasságot leíró nem lehet más. Így helyettesítéssel kapjuk, hogy ahonnan Nyissuk ki mindkét csapot ! Tegyük föl, hogy az csapból kifolyó víz mozgási energiája a csapon kifolyó víz kinetikus energiáját nem növeli (pl. a befolyó víz energiája teljes egészében hővé alakul), azaz a (3) egyenlet változatlanul érvényes. Eszerint kezdeti vízszintnél csak befolyik a víz az edénybe, de ki nem folyik belőle. A vízmagasság addig növekszik, amíg az időegység alatt ki- és befolyó vízmennyiség meg nem egyezik. A (2), a (4) és a (7) egyenletek alapján ekkor
azaz A vízmagaság ezen a szinten stabilizálódik, ha , azaz . Ellenkező esetben az egyensúlyi magasság -nál nagyobb lenne, ekkor a tartály megtelik és állandóan víz folyik ki az oldalán.
Szilárd Mónika (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.) és Horváth Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)
Megjegyzés. A (2), (4) és (7) egyenletek alapján abban az esetben, ha mindkét csap nyitva van, a magasságváltozást a differenciálegyenlet írja le. Ennek alapos vizsgálatával a következőket lehet igazolni. A függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken attól függően, hogy a folyamat kezdeti pillanatában a magasság kisebb vagy nagyobb-e, mint a magasság. Mindkét esetben, hacsak , esetben tart a értékhez, de véges idő alatt nem éri el azt. Ha , akkor a vízszint véges idő alatt eléri a magasságot, s ezután állandóan ezt a szintet tartja, miközben az edény szélén is folyik ki víz.
Az ábrán három kvalitatív diagramot ábrázoltunk. Az görbe a és , a görbe a és , a görbe a és feltételek mellett mutatja a vízszint magasságának időfüggését. |
|