Kezdőlap


Feladat:	1615. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kolláth Zoltán , Szalontai Zoltán , Umann Gábor
Füzet:	1980/szeptember, 43 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kölcsönös indukció, Önindukció, Transzformátorok (Váltó áramú áramkörök), Soros RLC-kör, Komplex impedancia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: 1615. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldható a transzformátor-egyenletek általános vizsgálatával, ekkor azonban az áramok és feszültségek közötti fázisszögek bonyolult számítására vagy komplex számok használatára van szükség. A megoldás egyszerű és szemléletes, ha alkalmazzuk azt a tételt, amely szerint ,,minden, ideális induktivitásokból (transzformátorokból), kapacitásokból, ellenállásokból és feszültségforrásokból álló, két kivezetéssel rendelkező hálózat helyettesíthető egy megfelelően választott feszültségforrással és egy, vele sorba kapcsolt, megfelelően választott impedanciával''. A tétel bizonyításához a lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó matematikai ismeretekre van szükség. A tétel fizikai jelentése az, hogy egy fekete dobozból kivezetett két mérőpontról nem tudjuk eldönteni, hogy az egy bonyolult hálózat két kivezetése, vagy pedig a helyettesítő áramkör két vezetéke‐e.
Esetünkben a helyettesíteni kívánt hálózat a transzformátor és a primer oldalra kapcsolt feszültségforrás. Két speciális esetet vizsgálva meghatározzuk a helyettesítő áramkör elemeit és ezek ismeretében válaszolunk a feltett kérdésre.
Nézzük meg először, mi történik, ha a transzformátort nagyon nagy ellenállással terheljük. A szekunder áram ekkor nulla, és a szekunder feszültség

\begin{matrix} U_{2}^{*} = U_{1} \cdot (L_{12} / L_{1}), \end{matrix}

ahol

U_{1}

a primer feszültség,

L_{12}

és

L_{1}

pedig a transzformátor jellemzői. A kimenő feszültség fázisa megegyezik

U_{1}

fázisával.

1. ábra

A transzformátort nagyon kis ellenállással terhelve a szekunder feszültség nulla lesz, és a szekunder körben folyó áram

\begin{matrix} I_{2}^{*} = U_{1} \frac{L_{12}}{ω (L_{1} L_{2} - L_{12}^{2})} . \end{matrix}

Ez az összefüggés az áram es feszültség effektív értékét tartalmazza, és nem mond semmit a közöttük levő fáziskülönbségről. A transzformátorban keltett mágneses fluxus változásaiból megállapítható, hogy az áram és a feszültség között ebben az esetben

90^{\circ}

-os fáziskülönbség van és az áram fázisa siet a feszültséghez képest.
Vizsgáljuk meg, hogy milyennek kell lennie a transzformátort helyettesítő áramkörnek (1. ábra). Ha a helyettesítő áramkört nem terheljük, akkor közvetlenül az

U_{0}

feszültséget mérjük. Az előbbiek szerint tehát

\begin{matrix} U_{0} = U_{2}^{*} = U_{1} (L_{12} / L_{1}) . \end{matrix}

Rövidzár esetén az áram és a feszültség között

90^{\circ}

-os fáziskülönbségnek kell lennie, tehát a

Z

impedancia vagy kapacitás, vagy pedig induktivitás. A fáziskülönbség iránya az induktivitás esetében lesz helyes.
Az induktivitás nagyságát az

I

rövidzárási áramból határozzuk meg

\begin{matrix} I = U_{0} / Z = U_{0} / (ω L) = U_{1} (L_{12} / L_{1}) \cdot 1 / (ω L) . \end{matrix}

Az áramkörök ekvivalenciája miatt azonban

I = I_{2}^{*}

és ezért

\begin{matrix} L = \frac{L_{1} L_{2} - L_{12}^{2}}{L_{1}} . \end{matrix}

2. ábra

Az eddigi számítások meghatározták a transzformátor jelleggörbéjének két végpontját (2. ábra). A teljes görbét úgy kapjuk, hogy megnézzük, a helyettesítő áramkört egy ohmos ellenállással terhelve milyen

U_{2} ... I_{2}

értékek tartoznak össze (3. ábra).

3. ábra

Az áram

I_{2} = U_{0} \frac{1}{\sqrt[]{{(ω L)}^{2} + R^{2}}},

a feszültség

U_{2} = I_{2} R

.

Az

R

ellenállást kifejezve és átrendezve az

\begin{matrix} {(\frac{ω L}{U_{0}})}^{2} I_{2}^{2} + {(\frac{1}{U_{0}})}^{2} U_{2}^{2} = 1 \end{matrix}

egyenletet kapjuk, amely egy olyan ellipszis egyenlete, amelynek tengelyei egybeesnek a koordináta‐rendszer tengelyével (2. ábra).