Feladat:	1610. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti Gábor
Füzet:	1980/szeptember, 39 - 40. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: 1610. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Egyensúly esetén a rúdra ható erők forgatónyomatékainak eredője nulla. Célszerű a mérlegegyenletet az $O$ forgási pontra felírni, mert ekkor a csuklóban ébredő ismeretlen nagyságú és irányú $\text{N}$ erő forgatónyomatéka zérus lesz (l. az 1. ábrát). A $G$ súlyerő karja $\left(1/2\right)l\text{cos}\alpha$, az $A$ pontban támadó, kötélirányú $Q$ erő karja pedig $\overline{OM}=l\text{cos}\left(\alpha +\beta \right)$. A két erő forgatónyomatékának egyenlőségéből a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{Q}{G}=\frac{\text{cos}\alpha }{2\cdot \text{cos}\left(\alpha +\beta \right)}}\end{array}$ (1) összefüggés adódik. A bal oldali (rúd felőli) kötélágnak a függőlegessel bezárt $\beta$ szöge a geometriai viszonyok figyelembevételével $\alpha$ segítségével kifejezhető (1. ábra).     1. ábra   Mivel ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \overline{AC}}& {\displaystyle =\left(l+s\right)-l\text{cos}\alpha ;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overline{BC}}& {\displaystyle =h-l\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ így $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\beta =\frac{1+\left(s/l\right)-\text{cos}\alpha }{\left(h/l\right)-\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ha megengedjük, hogy a rúd a vízszintes helyzet alá is kerülhessen, akkor $\alpha =-{90}^{\circ }$ helyzetből kiindulva egyre nagyobb szöget fog a rúd a vízszintessel bezárni növekedő $Q$ terhelés hatására. Kézenfekvő felső korlátot jelent ahhoz  szögértékhez (${\alpha }_{\text{<span style="font-style: italic;">max</span>}}$) tartozó állás, amelynél a rúd és a rúd oldalán levő kötéldarab egy egyenesbe esik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_{\text{<span style="font-style: italic;">max</span>}}=\frac{h}{l+s}\mathrm{.}}\end{array}$ Az (1) és (2) egyenletek alapján kiszámoltuk a különböző terhelésekhez tartozó $\alpha$ értékeket a $h=l=s$ összefüggést feltételezve (2. ábra). Az ábrázolt függvény $\left(Q/G\right)\to \infty$ esetén szigorúan növekedve tart az ${\alpha }_{\text{<span style="font-style: italic;">max</span>}}\approx \mathrm{36,}{5}^{\circ }$ értékhez.     2. ábra    Alberti Gábor (Budapest, Árpád Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján