Feladat:	1604. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mármarosi József
Füzet:	1980/szeptember, 35 - 36. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/november: 1604. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az 1. ábrán feltüntettük a rendszerre ható erőket. (A betűk ezek abszolút értékét jelölik.) A $K$ kötélerőt és a csuklónál a felső gerendára ható $R$ erőt felbontottuk rúdirányú ($K_1\mathrm{,}{R}_1$) ill. arra merőleges ($K_2$, $R_2$) összetevőkre. Az egyensúly feltétele, hogy a rudakra ható erők eredője és a forgatónyomatékok összege zérus legyen.     1. ábra   Az alsó rúd esetén az egyensúlyi feltételek: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(K+F\right)-\left(G+Q\right)=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle Kl-\left[G\left(l/2\right)+Qx\right]=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ a felső rúdra ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle K_1-R_1=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \left(K_2+R_2\right)-\left(G+F\right)=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \left(l/2\right)\left(K_2-R_2\right)=0.}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ A (2) és (5) egyenletet az $A$, ill. a $B$ pontra vonatkozó forgatónyomatékokra írtuk fel. A (3) és (5) egyenletekből $\begin{array}{c}{\displaystyle R_1=K_1=\frac{1}{\sqrt[]{2}}K\text{és}{R}_2=K_2=\frac{1}{\sqrt[]{2}}K\mathrm{,}}\end{array}$ amiből következik, hogy $R=K$ és $\alpha ={45}^{\circ }$. A $K$ és $F$ kötélerőt valamint a keresett $x$ értéket az (1), (2) és (4) egyenletekből kaphatjuk meg. Ennek az egyenletrendszernek $Q=0$ esetén nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy ekkor a rendszer nem lehet egyensúlyban. $Q\ne 0$ esetén ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle K=\frac{2G+Q}{1+\sqrt[]{2}}=R\mathrm{,}F=\frac{\left(\sqrt[]{2}-1\right)G+Q\sqrt[]{2}}{1+\sqrt[]{2}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{x}{l}=\frac{3-\sqrt[]{2}}{2\left(1+\sqrt[]{2}\right)}\cdot \frac{G}{Q}+\left(\sqrt[]{2}-1\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\end{array}}$ Látható, hogy $K$, $F$ és $R$ $Q$-nak lineáris függvénye.     2. ábra   A (6) összefüggést a 2. ábrán rajzoltuk meg. Vizsgáljuk ezt meg! Nyilván meg kell követelnünk, hogy $0\leqq x/l\leqq 1$ legyen. Az egyenlőtlenség bal oldala teljesül, mert a (6) egyenlet jobb oldala pozitív, a jobb oldali egyenlőtlenség pedig a $Q\geqq \frac{3-\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}}\cdot G\approx \mathrm{0,56}G$ feltételt adja a paraméterek megválasztására. Végül $G/Q=0$ (a súlytalan rudak határesete) mellett $x/l=\sqrt[]{2}-1\approx \mathrm{0,41.}$ Az eddigiekből következik, hogy a megengedett $Q$ értékek mellett $\sqrt[]{2}-1<x/l\leqq 1$ (l. a 2. ábrát).    Mármarosi József (Kisbér, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)  dolgozata alapján