Kezdőlap


Feladat:	1603. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bocsák András , Guba Kornél , Seregdy Tamás
Füzet:	1980/május, 235 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Rugalmatlan ütközések, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/november: 1603. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A felfelé mászó ember gyorsulása a kötélhez viszonyítva ( $F$ a kötélerő, $M$ az ember tömege):

\begin{matrix} a_{e} = \frac{F - M g}{M} = 0, 703 {m/s}^{2} . \end{matrix}

A test gyorsulása a földhöz viszonyítva:

\begin{matrix} a_{t} = \frac{F - m g}{m} = 0, 44 {m/s}^{2} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy a mozgás kezdetekor a test is és az ember is a földön áll.

t = 10 s

múlva a földtől mért távolságuk:

\begin{matrix} s_{e} = (1 / 2) (a_{e} - a_{t}) t^{2}, s_{t} = (1 / 2) a_{t} t^{2}; \end{matrix}

sebességük (a sebességek felfelé pozitívak)

\begin{matrix} v_{e} = (a_{e} - a_{t}) t, v_{t} = a_{t} t \end{matrix}

lesz. Behelyettesítve a numerikus adatokat

\begin{matrix} s_{e} = 13, 15 m, s_{t} = 22 m, v_{e} = 2, 63 m/s, v_{t} = 4, 4 m/s . \end{matrix}

Mivel

t = 10 s

-nál az ember abbahagyja a mászást és erősen megfogja a kötelet, az ember is és a test is a

v_{e}

, ill.

v_{t}

kezdősebességeknek megfelelő függőleges hajítás szerint folytatja a mozgást addig, amíg a kötél újra meg nem feszül. Az ember pályájának holtpontja:

\begin{matrix} s_{e} + v_{e}^{2} / (2 g) = 13, 15 m + 0, 35 m = 13, 5 m . \end{matrix}

A test pályájának holtpontja

\begin{matrix} s_{t} + v_{t}^{2} / (2 g) = 22 m + 0, 98 m = 22, 98 m . \end{matrix}

A kötél akkor feszül meg ismét, amikor a hajítások kezdőpontjaitól mért elmozdulások összege nulla. Ha ez

t^{'}

idő múlva következik be, akkor

\begin{matrix} v_{e} t' - (g / 2) t' + v_{t} t' - (g / 2) t'^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t' = \frac{v_{e} + v_{t}}{g} = 0, 716 s . \end{matrix}

A test helyzete ekkor

\begin{matrix} s_{t}' = s_{t} + v_{t} t' - (g / 2) t'^{2} = 22, 63 m . \end{matrix}

A sebességek a

t'

pillanatban (még a kötél megfeszülése előtt):

\begin{matrix} v_{e}' = v_{e} - g t' = - 4, 39 m/s, \end{matrix}

\begin{matrix} v_{t}' = v_{t} - g t' = - 2, 62 m/s . \end{matrix}

A kötél megfeszülésekor az ember és a test a kötél közvetítésével rugalmatlanul ütközik. Ezért

\begin{matrix} {\bar{v}}_{t}' = - {\bar{v}}_{e}' = \frac{m v_{t}' - M v_{e}'}{m + M} = 0, 84 m/s, \end{matrix}

tehát a test felfelé, az ember lefelé kezd mozogni. Az ember azonban felfelé gyorsul:

\begin{matrix} a_{e}' = + g \frac{m - M}{m + M} = + 0, 124 {m/s}^{2} = - a_{t}', \end{matrix}

így még mielőtt a földet elérné, felfelé kezd mozogni. A test lefelé gyorsul és

t''

idő múlva éri el a talajt:

\begin{matrix} s_{t}' + {\bar{v}}_{t}' t'' - a' t'' / 2 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t'' = 27, 04 s . \end{matrix}

Ekkor az ember

\begin{matrix} s_{e} + s_{t} = 35, 15 m \end{matrix}

magasan van és sebessége

\begin{matrix} v_{e}' = \bar{v}'_{e} + a_{e}' t'' = 2, 51 m/s . \end{matrix}

Ha ekkor a test rugalmatlanul ütközik, akkor a kötél újabb megfeszüléséig a talajon marad. Az ember további mozgását a

v_{e}''

, kezdősebességű függőleges hajítás írja le. Amikor

- v_{t}''

sebességgel ismét eléri az

s_{e} + s_{t}

magasságú pontot, a kötél ismét megfeszül, a tárgy felemelkedik, de negatív gyorsulása miatt végül újra eléri a talajt. Ez a mozgás fog ismétlődni, de úgy, hogy az ember függőleges hajítási kezdősebessége mindig csökken. Mivel a test mindig a talajról indul és oda is érkezik, az

n

-edik lépésben az ember függőleges hajítási sebessége

\begin{matrix} V^{(n)} = \frac{M}{m + m} v^{(n - 1)} . \end{matrix}

n

-edik függőleges hajításhoz

\begin{matrix} t^{(n)} = \frac{2 v^{(n)}}{g} \end{matrix}

idő kell, amikor a kötél feszes, a mozgás

\begin{matrix} {\bar{t}}^{(n)} = \frac{2 v^{(n + 1)}}{a} \end{matrix}

időt vesz igénybe. Az egész mozgás

\begin{matrix} T = t + t' + t'' + \sum_{n = 0}^{\infty} (t^{(n)} + {\bar{t}}^{(n)}) \end{matrix}

ideig tart. Számadatokkal:

\begin{matrix} T = 10 s + 0, 716 s + 27, 04 s + 2 v_{e}'' \sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{1}{g} {(\frac{M}{m + M})}^{n} + \frac{1}{a'_{e}} {(\frac{M}{m + M})}^{n + 1}] = \\ = 37, 75 s + \frac{2 v''_{e}}{g} \frac{1}{1 - \frac{M}{m + M}} + \frac{\frac{2 v''_{e}}{a'_{e}} \cdot \frac{M}{m + M}}{1 - \frac{M}{m + M}} = 78, 23 s, \end{matrix}

ahol felhasználtuk, hogy

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}, ha | q | < 1

.
A végső helyzetben a test a földön, az ember

35, 15 m

magasan lesz.

Seregdy Tamás (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján