Kezdőlap


Feladat:	1600. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borbély Gábor
Füzet:	1980/május, 232 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpinga, Coulomb-törvény, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: 1600. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat egy olyan kúpingára vonatkozik (l. az 1552. feladat KML 59 [1979] 227. o.), amelyre a nehézségi erőn kívül még a töltések vonzásból eredő erő is hat.
Írjuk fel a II. Newton-axióma alapján az $m$ tömegi test mozgásegyenletét. Az 1. ábra jelöléseivel az egyenlet $r$ és $z$ komponensei ( $a_{c}$ -vel a centripetális gyorsulást jelöljük):

1. ábra

\begin{matrix} N sin φ + F sin ϑ = m a_{c}, & (1) \\ N cos φ - F cos ϑ - m g = 0. & (2) \end{matrix}

Kifejezhetjük

ϑ

szögfüggvényeit

φ

-vel:

\begin{matrix} cos ϑ = \frac{2 - cos φ}{\sqrt[]{5 - 4 cos φ}}, sin ϑ = \frac{sin φ}{\sqrt[]{5 - 4 cos φ}} . \end{matrix}

A Coulomb-törvény szerint

\begin{matrix} F = k \frac{q^{2}}{l^{2} (5 - 4 cos φ} . \end{matrix}

Ezek felhasználásával (1)-ből

N

-t kifejezzük, és behelyettesítjük (2)-be:

\begin{matrix} m a_{c} = tg φ [m g + k \frac{q^{2} (2 - cos φ)}{l^{2} {(5 - 4 cos φ)}^{3 / 2}}] + k \frac{q^{2} sin φ}{l^{2} {(5 - 4 cos φ)}^{3 / 2}} . \end{matrix}

A centeripetális gyorsulást ismerjük:

\begin{matrix} a_{c} = ω^{2} l sin φ, \end{matrix}

ezt az egyeletbe behelyettesítve átrendezés után

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{1}{cos φ} [\frac{g}{l} + \frac{2 k q^{2}}{{(5 - 4 cos φ)}^{3 / 2}}] \end{matrix}

(3)

adódik.
Az

m = 10^{- 4} kg, l = 0, 1 m, q = 5 \cdot 10^{- 8} C, φ = 30^{\circ}

és

k = 9 \cdot 10^{9} Vm/C

értékekkel:

\begin{matrix} ω = 19, 65 / s . \end{matrix}

A keringési idő

T = 2 π / ω = 0, 32 s

.
A legkisebb

ω

értéket a

d (ω^{2}) / d φ = 0

egyenlet felhasználásával kaphatnánk. Így magasabb fokú egyenletet kapunk, ezért annak egzakt megoldása helyett a minimumot numerikusan keressük.

2. ábra

Az egyes

ω (φ)

értékeket a következő táblázat rögzíti, a görbe menetét a 2. ábrán láthatjuk.

\begin{matrix} φ (^{\circ}) & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 45 & 46 & 47 & 48 & 49 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 \\ ω (1 / s) & 23,41 & 22,76 & 21,23 & 19,66 & 18,61 & 18,37 & 18,35 & 18,35 & 18,34 & 18,35 & 18,37 & 19,22 & 21,84 & 29,24 & ‐ \end{matrix}

Így azt kapjuk, hogy a legkisebb szögsebesség

ω_{min} = 18, 34 1 / s

, a hozzá tartozó szög

φ_{0} \approx 48^{\circ}

Borbély Gábor (Kapuvár, Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A valóságban rögzített

φ

-nél az erőtörvényekből és a mozgásegyenletből számolt szögsebességgel nem mindig jön létre körmozgás, meg kell vizsgálni a pályamozgás stabilitását. Ha

q = 0

, akkor nyilvánvalónak tűnik a stabilitás. Kicsiny sugárirányú lökést adunk a golyónak, akkor ez az impulzusmomentum megmaradása miatt nagyobb szögsebességgel indul el egy olyan beljebb levő pályán, amelyhez még az előző szögsebességénél is kisebb

ω

tartozik, ezért a golyó visszatér az eredeti pályája felé.

q \neq 0

esetén részletesebben meg kell vizsgálnunk a kérdést.
A kis

Δ φ

elmozdulásokkal szembeni stabilitás feltételét keressük. Az impulzusmomentum

z

komponense megmaradó mennyiség:

\begin{matrix} m l^{2} ω (φ) sin^{2} φ = állandó . \end{matrix}

Ezt az összefüggést a szorzat deriválási szabálya alapján

φ

szerint deriválva kapjuk:

\begin{matrix} m l^{2} [ω (d ω / d φ) sin^{2} φ + ω \cdot 2 sin φ cos φ] = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} d ω / d φ = - 2 ω ctg φ . \end{matrix}

Tehát a kicsiny

Δ φ

kimozdulás esetén a test szögsebességének változása

\begin{matrix} Δ ω \approx - (2 ω ctg φ) Δ φ . \end{matrix}

A körmozgás stabil a

Δ φ

elfordulással szemben, ha a

φ + Δ φ

pályához tartozó szögsebesség (ezt a (3) kifejezéssel számíthatjuk ki)

Δ φ > 0

esetén nagyobb, mint

ω + Δ ω

(az a szögsebesség, amelyet a test a kimozdulás során felvesz). Ekkor ugyanis kisebb szögsebességgel indulna el egy nagyobb szögsebességhez tartozó pályán, így a Coulomb- és a kötélerő visszahúzná. Ugyanígy az is szükséges, hogy egy

Δ φ < 0

elmozdulásra

ω + Δ ω

nagyobb legyen, mint amekkora szögsebességet a centripetális erő biztosítani tud, ekkor ugyanis a test visszalendül az eredeti helyzete felé. A stabilitás feltétele tehát az, hogy az

ω (φ)

görbe meredeksége mindig nagyobb legyen, mint ‐

2 ω ctgφ

.
A (3)-ból adódó

ω (φ)

függvény legkisebb meredeksége közelítőleg

(1 / 10^{\circ}) [φ (40^{\circ}) - φ (30^{\circ})] = - 0, 1 1 /^{\circ} s

, ez jóval nagyobb, mint ‐

2 ω ctg φ

értéke, pl. ha

0 \leq φ \leq 89^{\circ}, 90^{\circ}

közelében viszont

ω (φ)

meredeksége pozitív, míg ‐

2 ω ctg φ

negatív. A stabilitás feltétele tehát teljesül minden helyzetben.
2. Az (1)-(2) egyenletrendszer csak akkor határozza meg a mozgást, ha a

q

töltés gyorsulásából eredő sugárzási veszteség elhanyagolható, vagyis amíg a frekvencia elegendően kicsi.