Feladat:	1598. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pálos Gábor
Füzet:	1980/május, 230 - 231. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszer mozgási energiája, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: 1598. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A feladatot a mechanikai energiamegmaradás tétele segítségével oldjuk meg. A rudak helyzeti energiájának csökkenése $m_{1}gL\left(\text{sin}{\alpha }_0-\text{sin}\alpha \right)$, ami a rudak forgási, ill. a $m_2$ tömegű test mozgási energiájává alakul át.     Jelöljük $\omega$-val a rudak $\alpha$ helyzethez tartozó szögsebességét (l. az ábrát). Az $O$ pont körül forgó bal oldali rúd forgási energiája $\left(1/2\right)\cdot \left(1/3\right)m_1{L}^2\cdot {\omega }^2=$ $=\left(1/6\right)m_1{L}^2{\omega }^2$. A jobb oldali rúd az $O\text{'}$ pillanatnyi forgástengely körül forog $\omega$ szögsebességgel. Az $O\text{'}$ tengely helyzetét az $A\text{'}$ és $B\text{'}$ pontok sebességei irányának ismeretében meghatározhatjuk: az $OA\text{'}$ egyenesből (amelyre merőleges $v_{A\text{'}}$), a $B\text{'}$ pontban emelt függőleges egyenes metszi ki az $O\text{'}$ pontot. $K$-ra vonatkoztatva a tehetetlenségi nyomaték $\left(1/12\right)m_1{L}^2$. Steiner tétele értelmében ehhez $m_1\cdot \overline{KO{\text{'}}^2}$ áthelyezési nyomaték járul. Az $A\text{'}KO\text{'}$ háromszögből cosinus-tétellel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{KO{\text{'}}^2}=L^2\left[\left(1/4\right)+2\text{sin}{}^2\alpha \right]\mathrm{.}}\end{array}$ Ezért az $O\text{'}$ körüli tehetetlenségi nyomaték $\begin{array}{c}{\displaystyle m_1{L}^2\left[\left(1/3\right)+2\text{sin}{}^2\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a második rúd forgási energiája $\begin{array}{c}{\displaystyle m_1{L}^2\left[\left(1/6\right)+\text{sin}{}^2\alpha \right]\mathrm{.}}\end{array}$ A $m_2$ tömegű test sebessége $2\omega L\text{sin}\alpha$, kinetikus energiája $2m_2{\omega }^2{L}^2\text{sin}{}^2\alpha$. Egyenlővé téve a helyzeti energia csökkenését a teljes mozgási energiával, az $\omega$ szögsebességre $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\sqrt[]{\frac{m_{1}g\left(\text{sin}{\alpha }_0-\text{sin}\alpha \right)}{L\left[\left(m_1/3\right)+\left(m_1+2m_2\right)\text{sin}{}^2\alpha \right]}}}\end{array}$ adódik. Az $A$ pont sebessége $v_A=\omega L$, a $B$ ponté pedig $v_B=2\omega L\text{sin}\alpha$. Numerikusan: $\omega =2\mathrm{,}15{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}^{-1}\mathrm{,}{v}_A=v_B=1\mathrm{,}08\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m/s</span>}$.    Pálos Gábor (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., III. o. t. )  dolgozata alapján