Feladat:	1597. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böszörményi Zoltán ,  Horváth Gábor ,  Horváth Viktor ,  Mármarosi József ,  Mike Gábor ,  Pulai Sándor ,  Pöltl János Tamás ,  Üveges Péter
Füzet:	1980/május, 229 - 230. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Forgási energia, Steiner-tétel, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: 1597. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. Bontsuk fel a korong mozgását tömegközéppontjának haladó mozgására és a tömegközéppont körüli forgásra! A korongra az ábrán látható erők hatnak, tegyük fel, hogy a fonalat a lejtővel párhuzamos helyzetben rögzítettük. A korong tömege legyen $m$, sugara $r$, a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka $\Theta =\left(1/2\right)m{r}^2$. A korong lejtővel párhuzamos mozgására tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle ma=mg\text{sin}\alpha -K-S;}\end{array}$ (1) a lejtőre merőlegesen a korong nem gyorsul, így $\begin{array}{c}{\displaystyle N=mg\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (2)     A korong forgó mozgására vonatkozó egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \beta =Kr-Sr\mathrm{.}}\end{array}$ (3) ahol $\beta$ a szöggyorsulás. A korong a nyújthatatlan fonálról gördül le, így szöggyorsulása és tömegközéppontjának gyorsulása között fennáll a $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta r=a}\end{array}$ (4) kényszerfeltétel. Ha a korong megmozdul, közte és a lejtő között csúszó súrlódás lép fel, így $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu N\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Az (1)-(5) egyenletekből álló egyenletrendszerből a korong gyorsulása kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\left(2/3\right)g\left(\text{sin}\alpha -2\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (6) A korong gyorsulása nem lehet negatív, tehát $\text{sin}\alpha \ge 2\mu \text{cos}\alpha$. A korong akkor gyorsul, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu <\left(1/2\right)\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (7) Egyenlőség esetén a meglökött korong állandó sebességgel mozog míg $\mu >\left(1/2\right)\mu \text{tg}\alpha$ esetén a korong meglökés után is megáll.    Böszörményi Zoltán (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., III. o. t.)   II. megoldás. A korong mozgása bármely pillanatban tekinthető úgy, mint a fonál elválási pontja körül történő forgás. Erre a pontra vonatkozóan a korog tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \text{'}=\Theta +m{r}^2=\left(3/2\right)m{r}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (8) A pillanatnyi forgástengely körüli elfordulásra vonatkozó egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \text{'}\beta =rmg\text{sin}\alpha -2rS\mathrm{.}}\end{array}$ (9) Ezt az egyenletet az (1) és (3) egyenlet helyére írva az egyenletrendszer megoldható, hiszen eggyel kevesebb egyenletünk van, de a $K$ ismeretlen erő az egyenletekben nem szerepel. Az egyenletrendszer megoldása megegyezik az I. megoldásban kapott megoldással.    Mármarosi József (Kisbér, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)   III. megoldás. Oldjuk meg a feladatot a munkatétel segítségével! Tegyük fel, hogy az elindulás után a korong középpontja $\Delta h$-val lejjebb kerül, ekkor helyzeti energiájának csökkenése $mg\Delta h$. Ez az energiaváltozás mozgási és forgási energiát, valamint súrlódási munkát fedez. A súrlódási erő $S=\mu N=\mu mg\text{cos}\alpha$. A korong középpontja $\Delta h/\text{sin}\alpha$ úton mozdul el, a lejtővel érintkező pontjának elmozdulása azonban ennek kétszerese, mivel a korong forog is, és $v=\omega r$. A munkatétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\Delta h=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\Theta {\omega }^2+2\mu mg\text{cos}\alpha \frac{\Delta h}{\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (10) $\Theta =\left(1/2\right)m{r}^2$ és $\omega =v/r$ értékeket beírva $v^2$ kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle v^2=\frac{4}{3}g\Delta h-\frac{8}{3}\mu \text{cos}\alpha \frac{\Delta h}{\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (11) Az egyenletesen gyorsuló mozgás esetén $v^2=2as\mathrm{,}{v}^2$ az elmozdulással arányos. Másrészt belátható, hogy ha egy mozgás olyan, hogy $v^2$ az elmozdulással arányos, akkor a gyorsulás állandó. (11)-ben $v^2$ valóban az elmozdulással arányos, így a mozgás egyenletesen gyorsuló. Az elmozdulás $\frac{\Delta h}{\text{sin}\alpha }$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{v^2}{2s}=\frac{v^2\text{sin}\alpha }{2\Delta h}=\frac{2}{3}g\left(\text{sin}\alpha -2\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (12)  Pulai Sándor (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)