Feladat:	1593. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Velkey Pál
Füzet:	1980/április, 187 - 188. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Erők forgatónyomatéka, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: 1593. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A tengelyekre ható forgatónyomatékot a két töltés közt fellépő Coulomb‐erőnek $\left(F\right)$ a tengelyekre merőleges komponense $\left(F_1\right)$ hozza létre (l. az ábrát). Írjuk fel a Coulomb‐törvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=k{Q}^2/x^2\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $x$ a két töltés közötti távolság.     $x^2$-et az ábra alapján a Pitagorasz‐tétellel határozhatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=d^2+{\left(2rsin\alpha \right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az ábrából látjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{F_1}{F}=\frac{2r\text{sin}\alpha }{x}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Az (1)‐(3) egyenletrendszerből $F_1$-et kifejezve kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=\frac{2k{Q}^{2}r\text{sin}\alpha }{{\left(d^2+4r^2\text{sin}{}^2\alpha \right)}^{3/2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $F_1$ erő karja $k_1=r\text{cos}\alpha$. Így a forgatónyomaték: $\begin{array}{c}{\displaystyle M=F_1{k}_1=\frac{k{Q}^2{r}^2\text{sin}2\alpha }{{\left(d^2+4r^2\text{sin}{}^2\alpha \right)}^{3/2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Meg kell határoznunk, mely $\alpha$ szögnél lesz e mennyiség maximális. Ezért $M$-et $\alpha$ szerint deriváljuk, és megkeressük a derivált nullahelyeit. Azt kapjuk, hogy a derivált nulla, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{\alpha }_{12}=\frac{\sqrt[]{4r^2+d^2-\sqrt[]{16r^4+d^4+4r^2{d}^2}}}{2r}\mathrm{.}}\end{array}$ Számadatainkat behelyettesítve ${\alpha }_{12}=\pm 9^{\circ }57\text{'}$-ot kapunk. (Fizikai meggondolás alapján világos, hogy $\alpha =\pm {170}^{\circ }3\text{'}$ esetén $M$ nem lehet maximális.) A derivált előjele alapján megvizsgálhatjuk a függvény növekedési viszonyait, így azt találjuk, hogy a forgatónyomaték egyik esetben maximális, másik esetben minimális lesz, a két mennyiség abszolút értékben egyenlő. Adatainkat beírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=1\mathrm{,}36\cdot {10}^5\text{ Nm}\mathrm{.}}\end{array}$  Velkey Pál (Cegléd, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.)  dolgozata alapján