Feladat:	1592. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borbély Gábor ,  Csató István ,  Csete Lajos ,  Gajdos Sándor ,  Horváth Adorján ,  Horváth Gábor ,  Kolláth Zoltán ,  Strádl János ,  Szállási Zoltán ,  Szalontai Zoltán
Füzet:	1980/április, 185 - 187. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Hídkapcsolás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: 1592. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. Számítsuk ki, hogy mekkora $R_x$ ellenállás esetén folyik át a galvanométeren $I$ erősségű áram! Írjuk fel a Kirchhoff‐törvényeket az ábrán feltüntetett jelölésekkel! A $B$ és a $C$ csomópontra: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle I_2=I_1+I\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle I_x=I+I_3\mathrm{.}}\hfill & \text{(2)}\end{array}}$     Alkalmazzuk a huroktörvényt a $BCAB$, $BCDB$ és a $DBAKD$ hurkokra: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle I{R}_b+I_x{R}_x-I_{1}R=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(3)}\\ \hfill {\displaystyle I{R}_b-I_{3}R+I_{2}R=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(4)}\\ \hfill {\displaystyle I_{2}R+I_{1}R=U\mathrm{.}}\hfill & \text{(5)}\end{array}}$ Az egyenletrendszert $R_x$-re megoldva: $\begin{array}{c}{\displaystyle R_x=R\frac{U-I\left(2R_b+R\right)}{U+I\left(2R_b+3R\right)}}\end{array}$ (6) A galvanométer akkor nem jelez áramot, ha $-I_0<I<I_0$. Mivel a [$-I_0$, $I_0$] intervallumon $R_x$ mint $I$ függvénye szigorúan monoton fogy, azért a $-I_0<I<I_0$ feltétel ekvivalens a következővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle R\frac{U-I_0\left(2R_b+R\right)}{U+I_0\left(2R_b+3R\right)}<R_x<R\frac{U+I_0\left(2R_b+R\right)}{U-I_0\left(2R_b+3R\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ (7) az adatokat behelyettesítve. $\begin{array}{c}{\displaystyle 99\mathrm{,}56\Omega <R_x<100\mathrm{,}44\Omega \mathrm{.}}\end{array}$  Horváth Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)   Megjegyzés. Figyelembe véve, hogy a (6) egyenletben az $IR$-et és $I{R}_b$-t tartalmazó tagok sokkal kisebbek, mint $U$, és felhasználva azt az összefüggést, hogy $\frac{1}{1+x}\approx 1-x$, $x\ll 1$ esetén $R_x$ a következő alakra hozható: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle R_x=R\frac{1-\left(I/U\right)\left(2R_b+R\right)}{1+\left(I/U\right)\left(2R_b+3R\right)}\approx R\left[1-\left(I/U\right)\left(2R_b+R\right)\right]\cdot \left[1-\left(I/U\right)\left(2R_b+3R\right)\right]\approx }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \approx R\left[1-\left(I/U\right)\left(4R_b+4R\right)\mathrm{.}\right]}\hfill & \text{(<mn>8</mn>)}\end{array}}$ (A beszorzásnál elhanyagoltuk a másodrendűen kicsi $I^2$-es tagokat.) Ebben az alakban könnyen felismerhető a feladat fizikai tartalma: a vizsgált hídkapcsolást arra használhatjuk, hogy segítségével eldöntsük, hogy egy ellenállás értéke $R_x=100\Omega$-mal egyenlő-e vagy sem. Az a tartomány, melyben a galvanométer nem jelez áramot, a mérés hibájára jellemző. Ha tehát a galvanométer nem tér ki mérhetően, az ellenállás értéke $\begin{array}{c}{\displaystyle R_x=R\pm R\left(I_0/U\right)\left(4R_b+4R\right)=100\Omega \pm 0\mathrm{,}44\Omega }\end{array}$ (9)  Csató István (Mezőtúr, Teleki B. Gimn., IV. o. t.)   II. megoldás. A feladat célja annak megállapítása, hogy az ábrán látható elrendezésben mekkora hibával határozható meg az $R_x$ ellenállás. Egy fizikai mennyiség hibáját általában elegendő egy jegy pontossággal megadni, így a feladat pontos megoldása helyett egy durva becslés alkalmazásával is megelégedhetünk. Ha a galvanométeren $I$ áram folyik keresztül, akkor a $B$ és $C$ pontok közötti feszültségkülönbség $I{R}_b$. A továbbiakban hanyagoljuk el a galvanométeren átfolyó áramot, és az $ABD$ és $ACD$ ágat tekintsük egyszerű feszültségosztónak. Ekkor az $A$ ponthoz viszonyítva a $B$ pont feszültsége $\left(U/2\right)$ a $C$ pont feszültsége $U{R}_x/\left(R+R_x\right)$. A $B$ és $C$ pont közötti feszültségkülönbség $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{U}{2}-U\frac{R_x}{R+R_x}=I{R}_b\mathrm{,}}\end{array}$ (10) ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle R_x=R\frac{U-2I{R}_b}{U+2I{R}_b}\approx R\left(1-4\frac{I}{U}{R}_b\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (11) Nem jelez áramot a galvanométer, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle R_x=R\pm 4R\left(I_0/U\right)R_b=100\Omega \pm 0\mathrm{,}4\Omega \mathrm{.}}\end{array}$ (12) Meg kell még vizsgálnunk, hogy mekkora hibát követhettünk el az $I$ áram elhanyagolásával. $I$-t figyelmen kívül hagyva a $B$ pont feszültsége ($A$-hoz viszonyítva) $U/2$. Ha $I$-t is számításba vesszük, akkor $D$ és $B$ között $I$-vel nagyobb áram folyik, mint $B$ és $A$ között, így $B$ feszültségére (1) és (5) felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle I_{1}R=\left(U/2\right)-\left(IR/2\right)}\end{array}$ (13) adódik. Az elkövetett hiba tehát $IR/2$. Hasonló a $C$ pont feszültségének bizonytalansága, így $B$ és $C$ feszültségkülönbségének számításakor $IR$ nagyságrendű hibát követhettünk el, ami $I{R}_b$ mellett elhanyagolható, ha $R_b\gg R$. Esetünkben $R_b=10\Omega$, tehát a közelítés egy jegy pontossággal helyes eredményt ad. Felfelé kerekítve, az adott elrendezésben $R_x$ $0\mathrm{,}5\Omega$ pontossággal határozható meg.    Szállási Zoltán (Esztergom, Dobó K. Gimn., II. o. t.)