Feladat:	1591. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsur Kálmán ,  Liszkay László ,  Madi Tibor ,  Matek Károly ,  Mike Gábor ,  Nagy Kolozsvári Árpád ,  Sass Béla ,  Szalontai Zoltán ,  Tóth Pál ,  Umann Gábor ,  Várkonyi Béla
Füzet:	1980/április, 183 - 185. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Forgási energia, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Állócsiga, Energiamegmaradás tétele, Egyéb Newton-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: 1591. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Tegyük fel, hogy a tapadási súrlódás olyan nagy, hogy a kötél tapad a csigához. A kötélerő csak olyan esetben állandó, amikor a csiga tehetetlenségi nyomatéka elhanyagolhatóan kicsi és a kötél tömege is elhanyagolható. A jelen esetben ez nem áll fenn, ezért négy különböző kötélerővel kell számolnunk (l. az ábrát). Az $m_2$ tömegű test mozgásegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{2}g-K_1=m_{2}a\mathrm{.}}\end{array}$ Az $x$ hosszúságú fonalat $K_1+\left(m/l\right)gx-K_2$ erő gyorsítja. A nyújthatatlanság miatt a gyorsulás most is $a$; $\begin{array}{c}{\displaystyle K_1-K_2+\left(m/l\right)gx=\left(m/l\right)xa\mathrm{.}}\end{array}$     A csigán minden pillanatban rajta van egy félkörnyi kötéldarab. A teljes tehetetlenségi nyomaték tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \text{'}=\Theta +\left(m/l\right)r\pi r^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt a rendszert $\left(K_2-K_3\right)r$ forgatónyomaték forgatja: $\begin{array}{c}{\displaystyle K_2-K_3=\Theta \text{'}\left(a/r^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A bal oldali kötél és az $m_1$ tömegű test mozgásegyenlete: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle K_3-K_4-\left(m/l\right)g\left(l-r\pi -x\right)=\left(m/l\right)\left(l-r\pi -x\right)a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle K_4-m_{1}g=m_{1}a\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az egyenletrendszer megoldása $\begin{array}{c}{\displaystyle a=a\left(x\right)=\frac{m_2-m_1-m\left[1-\left(r\pi /l\right)\right]+2mx/l}{m_1+m_2+m+\left(\Theta /r^2\right)}g\mathrm{.}}\end{array}$ A gyorsulás tehát lineárisan nő a jobb oldali kötélhossz $\left(x\right)$ függvényében. A fenti képletből az is leolvasható, hogy annak feltétele, hogy az $m_2$ tömeg mozogjon lefelé $\left(a>0\right)$, az, hogy $m_2$ és a kezdetben jobb oldalon levő kötéldarab tömege nagyobb legyen $m_1$-nek és a bal oldali kötéldarab tömegének összegénél: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_2+m{x}_0/l>m_1+m\left[1-\left(r\pi /l\right)-x_0/l\right]\mathrm{.}}\end{array}$ ahol $x_0$ a kezdeti állapotban a lelógó kötél hossza. A gyorsulás nem állandó, ezért a $v=\sqrt[]{2ax}$ képlet nem használható! A sebességet az energiatételből határozhatjuk meg (amelynek felírásakor a kötelek súlypontjának változását is figyelembe kell venni): ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(1/2\right)v^2\left[m_1+m_2+m+\left(\Theta /r^2\right)\right]=m_{2}g\left(x-x_0\right)-m_{1}g\left(x-x_0\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\left(1/2\right)\left(m/l\right)xgx-\left(1/2\right)\left(m/l\right)x_{0}g{x}_0+\left(m/2\right)\left[1-\left(r\pi /l\right)-\left(x/l\right)\right]g\left(l-r\pi -x\right)-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\left(m/2\right)\left[1-\left(r\pi /l\right)-\left(x_0/l\right)\right]g\left(l-r\pi -x_0\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(x\right)=\sqrt[]{\frac{2\left(x-x_0\right)\left[m_2-m_1+\left(m/l\right)\left(x+x_0+r\pi -l\right)\right]g}{m_1+m_2+m+\left(\Theta /r^2\right)}}\mathrm{.}}\end{array}$    Nagy‐Kolozsvári Árpád (Bp., Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)   Megjegyzés. A gyorsulás a Newton‐egyenletek felírása nélkül is meghatározható az energiamegmaradás tétele alapján kapott $v\left(x\right)$ függvény ismeretében. A gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja: $a=\text{d}v/\text{d}t$. Az összetett függvény deriválására vonatkozó összefüggés szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v\left(x\right)}{\text{d}x}\cdot \frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v\left(x\right)}{\text{d}x}v\left(x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ melyből a korábban felírt $a\left(x\right)$ függvényt kapjuk vissza.    Szalontai Zoltán (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., IV. o. t.)