Kezdőlap


Feladat:	1589. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/április, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékok, szilárd testek fajhője, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: 1589. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $0^{\circ} C$ -os vizet a $100^{\circ} C$ -os víz lehűlése árán kell felmelegítenünk; minél jobban lehűl az eredetileg $100^{\circ} C$ -os víz, annál melegebb lesz a $0^{\circ} C$ -os víz a folyamat végén. Az a célunk, hogy a $100^{\circ} C$ -os víz minél jobban lehűljön, de mindig szem előtt kell tartani, hogy a hőáram iránya egyértelműen meghatározott; a melegebb test ad át hőt a hidegebb testnek.
Ha a $100^{\circ} C$ -os víznek csak egy igen kis részét hozzuk hőkontaktusba a $0^{\circ} C$ -os vízzel, akkor az igen erősen lehűl, és így a melegítés szempontjából a hasznosítása nagyon jó. Úgy érdemes próbálkozni, hogy a meleg vizet kis részekre osztjuk és az egyes részekkel külön‐külön melegítjük a hidegebb vizet.
Osszuk fel a $100^{\circ} C$ -os vizet $n$ egyenlő részre. Kössük az első részt egy igen jó, veszteségmentes hővezetővel a $0^{\circ} C$ -os vízhez. A $T_{1}$ egyensúlyi hőmérséklet a

\begin{matrix} c m (T_{1} - T_{0}) = c (m / n) (100^{\circ} C - T_{1}) \end{matrix}

egyenletből (

m = 1 kg

T_{0} = 0^{\circ} C

c

pedig a víz fajhője) határozható meg:

\begin{matrix} T_{1} = 100^{\circ} C / (n + 1) . \end{matrix}

n

elég nagy, akkor

T_{1}

elég kicsi, a

100^{\circ} C

-os víz a hőcsere során jól lehűl, azaz igen jól hasznosítottuk.
Kapcsoljuk ezután a jó hővezetőnkkel a

T_{1}

hőmérsékletű vizet a második adag

100^{\circ} C

-os vízhez. Az egyensúlyi hőmérséklet

T_{2}

\begin{matrix} T_{2} = \frac{100^{\circ} C}{n + 1} + \frac{n \cdot 100^{\circ} C}{{(n + 1)}^{2}} . \end{matrix}

T_{2} > T_{1}

, tehát a második adag

100^{\circ} C

-os vizünk már kevésbé hűlt le, mint az első, és így kevésbé hasznosítottuk a melegítésnél. Érdemes még felírni a közös hőmérsékletet a harmadik adaggal való melegítés után:

\begin{matrix} T_{3} = \frac{100^{\circ} C}{n + 1} + \frac{n}{n + 1} T_{2} = \frac{100^{\circ} C}{n + 1} + \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{100^{\circ} C}{n + 1} + \frac{n^{2} \cdot 100^{\circ} C}{{(n + 1)}^{3}} = \\ = \frac{100}{n + 1} (1 + \frac{n}{n + 1} + \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}})^{\circ} C . \end{matrix}

Jól láthatóan egy mértani sor összege határozza meg a kialakuló közös hőmérsékletet, ezért a végső hőmérséklet

\begin{matrix} T_{n} = \frac{100^{\circ} C}{n + 1} \cdot [\frac{{(\frac{n}{n + 1})}^{n} - 1}{\frac{n}{n + 1} - 1}] = 100^{\circ} C [1 - {(\frac{n}{n + 1})}^{n}] . \end{matrix}

{[n / (n + 1)]}^{n}

egy nevezetes kifejezés reciproka, ami

n \to \infty

esetén a természetes logaritmus alapszámához,

e \approx 2, 72

-hoz tart. Ha tehát a

100^{\circ} C

-os vizet igen sok részre osztjuk fel, akkor a fenti eljárással az eredetileg

0^{\circ} C

-os vizet

T \approx 63, 2^{\circ} C

-ra tudjuk felmelegíteni.