Feladat:	1585. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Gyula ,  Benkő Zsigmond ,  Csordás András ,  Liszkay László ,  Márk Géza ,  Szalontai Zoltán
Füzet:	1980/április, 178 - 180. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Faraday-féle indukciótörvény, Lenz-törvény, Áramvezetőre ható erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: 1585. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az időben változó $B$ indukciójú mágneses tér a keretben indukált feszültséget hoz létre. Ez a feszültség $I$ áramot hajt át a kereten. Az indukált áram és a $B$ mágneses tér kölcsönhatása miatt a keretre forgatónyomaték hat. Az 1-gyel és 2-vel jelzett élekre $F=IaB$ nagyságú, egymással ellentétes irányú erő hat (1. ábra). A másik két élre ható erőknek nincs forgatónyomatékuk.     1. ábra   A forgatónyomaték irányát a Lenz-szabály alapján határozhatjuk meg. Legyen $B_0$ pozitív előjelű. Két eset van, aszerint, hogy $k>0$, ill. $k<0$. Mind a két esetben $\phi ={90}^{\circ }$-nál vált előjelet a "mágneses'' forgatónyomaték (2. ábra). A nyomaték nagysága: $M_1=Fa\text{cos}\phi$.   Az erő kifejezését behelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_1=I{a}^{2}B\left(t\right)\text{cos}\phi \mathrm{.}}\end{array}$ (1) Ki kell számítanunk az $I$ indukált áramot. Az indukált feszültség $U_i=d\Phi /\text{d}t$. A fluxus $\Phi \left(t\right)=a^{2}B\left(t\right)\text{sin}\phi \left(t\right)$. Az idő szerinti differenciálásnál a $\text{sin}\phi \left(t\right)$-t is kell deriválni, azonban $t=0$-ban ez a tag nulla, mert $\phi \left(t=0\right)=0$. (Ez a második tag felel meg a mozgási indukciónak.) Tehát figyelembe véve, hogy $B=B_0+kt$, kapjuk, hogy $U_i=a^{2}k\text{sin}\phi$     2. ábra   Az indukált áram $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{a^{2}k\text{sin}\phi }{R}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az (1) és (2) egyenletekből $\begin{array}{c}{\displaystyle M_1=\frac{a^{4}k\text{sin}\phi }{R}\left(B_0+kt\right)\cdot \text{cos}\phi \mathrm{.}}\end{array}$ (3) A nehézségi erő nyomatéka: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_2=mg\left(a/2\right)\text{sin}\phi \mathrm{.}}\end{array}$ I. Először vizsgáljuk meg a $k>0$ esetet! Az rögtön látható, hogy a ${90}^{\circ }\le \phi <{180}^{\circ }$ tartományban a keret mindig lefelé billen (a $\phi ={180}^{\circ }$-os helyzet stabil egyensúlyi helyzet). A $t>0$ esetén fellépő mozgási indukciónak csak fékező hatása van, a mozgás lefolyásának jellegét nem változtatja meg. A $0^{\circ }<\phi <{90}^{\circ }$-os szögtartományban a "mágneses'' forgatónyomatéknak visszatérítő hatása van. Számítsuk ki a két nyomaték hányadosát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{M_1}{M_2}=\frac{2a^{3}k\left(B_0+kt\right)\text{cos}\phi }{mgR}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ha $\frac{M_1}{M_2}>1$, akkor $t=0$-ban a szöggyorsulás pozitív irányú (az óramutató járásával ellentétes irányú ‐ ld. az 1. ábrát). Ha $\frac{M_1}{M_2}=1$ ($t=0$-ban), akkor a $t=0$ időpillanatban zérus a szöggyorsulás. Ha $\frac{M_1}{M_2}<1$, akkor $t=0$-ban a szöggyorsulás negatív irányú. Határozzuk meg azt a kritikus szöget $\left({\phi }_k\right)$, amelyre $\frac{M_1}{M_2}=1$ ($t=0$-ban). $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{\phi }_k=\frac{mgR}{2a^{3}k{B}_0}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Mivel $|\text{cos}\phi |\le 1$, ezért az $M_1=M_2$ egyenlőség csak $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{mgR}{2a^{3}k{B}_0}\le 1}\end{array}$ esetben teljesül. A feladatban megadott adatokkal: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{\phi }_k=0\mathrm{,}9083;{\phi }_k={24}^{\circ }44\text{'}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a $0<\phi <{\phi }_k$ szögtartományban a szöggyorsulás a $t=0$ időpillanatban pozitív irányú, a ${\phi }_k<\phi <{180}^{\circ }$ szögtartományban negatív irányú (itt hangsúlyozzuk, hogy csak a $t=0$ időpontról van szó!).   II. $k<0$ eset. A $2b$ ábráról is jól látható, hogy a $0<\phi <{90}^{\circ }$ tartományban a keret lefelé billen. $M_1=M_2$ egyenlőséget a ${90}^{\circ }<\phi <{180}^{\circ }$ szögtartományban kaphatunk, ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{\phi }_k=\frac{mgR}{2a^{3}k{B}_0}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát ugyanazt a kifejezést kaptuk, mint a $k>0$ esetben. Most $\text{cos}{\phi }_k<0$, vagyis ${90}^{\circ }<{\phi }_k<{180}^{\circ }$. Az egyenlőség teljesülésének feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{mgR}{2a^3|k|B_0}<1.}\end{array}$ A $0<\phi <{\phi }_k$ tartományban a keret szöggyorsulása negatív irányú ($t=0$-ban!), a ${\phi }_k<\phi <{180}^{\circ }$ szögtartományban pedig pozitív irányú.    Bene Gyula (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)  dolgozata alapján   Megjegyzés. Lényegesen bonyolultabb azt eldönteni, hogy a $t>0$ időben hogyan mozog a keret. Lássunk egy példát. Legyen $k>0$ és $\phi ={\phi }_k+s$; $t=0$-ban. Megoldásunk szerint a gyorsulás negatív, azaz a keret lefelé kezd billenni. $k>0$ miatt azonban a "mágneses'' forgatónyomaték időben nő és így egy $t_1>0$ időpontban ismét teljesülhet az $M_1=M_2$ egyenlőség és a keret mozgása megfordulhat (ez persze függ $s$ értékétől).