Kezdőlap


Feladat:	1580. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tokaji Zsolt
Füzet:	1980/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: 1580. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alkalmazzuk az $m_{1}$ és az $m_{2}$ tömegű golyók rugalmas ütközésére az impulzusmegmaradás és az energiamegmaradás törvényét:

\begin{matrix} m_{1} v = m_{1} v' + m_{2} v_{2}, & (1) \\ (1 / 2) m_{1} v^{2} = (1 / 2) m_{1} v'^{2} + (1 / 2) m_{2} v_{2}^{2}, & (2) \end{matrix}

ahol az ütközés utáni sebességeket

v'

-vel (bal oldali golyó), ill.

v_{2}

-vel (középső golyó) jelöljük. Az utóbbi értékét érdemes kiszámítani az

(1)

és

(2)

egyenletekből:

\begin{matrix} v_{2} = v \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \end{matrix}

(3)

mert a második ütközés leírásához szükségünk lesz rá. A második és a harmadik golyó is rugalmasan ütközik, amelyre érvényes az impulzus- és az energiamegmaradás elve. Jelöljük

v'_{2}

-vel, ill.

v_{3}

-mal az ütközés utáni sebességeket:

\begin{matrix} m_{2} v_{2} = m_{2} v'_{2} + m_{3} v_{3}, & (4) \\ (1 / 2) m_{2} v_{2}^{2} = (1 / 2) m_{2} v'_{2}^{2} + (1 / 2) m_{3} v_{3}^{2} . & (5) \end{matrix}

(4)

és az

(5)

egyenletekből kifejezhetjük

v_{3}

-at:

\begin{matrix} v_{3} = v \frac{4 m_{1}}{m_{2} + \frac{m_{1} m_{3}}{m_{2}} + m_{1} + m_{3}}, \end{matrix}

(6)

ahová már

v_{2}

(3)

alatti kifejezését is beírtuk.
Rögzített

v

m_{1}

és

m_{3}

esetén

v_{3}

-nak olyan

m_{2}

értéknél lesz maximuma, ahol az

\begin{matrix} f (m_{2}) = m_{2} + \frac{m_{1} m_{3}}{m_{2}} \end{matrix}

(7)

függvénynek minimuma van. A számtani és a mértani közepek összehasonlításából:

\begin{matrix} f (m_{2}) = m_{2} + \frac{m_{1} m_{3}}{m_{2}} \geq 2 \sqrt[]{m_{2} \frac{m_{1} m_{3}}{m_{2}}} = 2 \sqrt[]{m_{1} m_{3}}, \end{matrix}

(8)

tehát az

f (m_{2})

függvény alulról korlátos, legkisebb értékét (amikor a két közép megegyezik) akkor éri el, amikor

\begin{matrix} m_{2} = \frac{m_{1} m_{3}}{m_{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} m_{2} = \sqrt[]{m_{1} m_{3}} . \end{matrix}

(9)

A jobb oldali golyó abban az esetben tesz szert maximális sebességre, ha a középső golyó tömegét a két szélső golyó tömegeinek mértani közepével megegyezőnek választjuk. Ez a sebesség

(6)

-ból és

(9)

-ből:

\begin{matrix} v_{3} = \frac{4 v}{{(1 + \sqrt[]{\frac{m_{3}}{m_{1}}})}^{2}}, \end{matrix}

(10)

Numerikusan:

m_{2} = 0, 6 kg

v_{3} = 1, 6 m/s

Tokaji zsolt (Szeged, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján