|
Feladat: |
1578. fizika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bene Gyula , Csordás András , Horváth István , Kaufmann Zoltán , Pöltl János Tamás , Umann Gábor , Várhelyi Tamás |
Füzet: |
1980/március,
131 - 132. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyéb erőtörvény, Coulomb-törvény, Energiamegmaradás tétele, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1979/április: 1578. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A golyó teljes energiája az elektrosztatikus és a rugalmas helyzeti energia és a mozgási energia összege: | | (1) |
( és ellentétes előjelű, így .) Ábrázoljuk vázlatosan a helyzeti energiát a golyó helyzete függvényében! A golyó a helyi minimum környezetében végezhet rezgéseket. Adott teljes energia esetén a rezgés azon a szakaszon történhet, ahol , tehát a mozgási energiára nemnegatív érték adódik. A legnagyobb amplitúdójú rezgés szélső pontjai és , a teljes energia ekkor a helyzeti energia helyi maximumának értékével egyenlő. 1. Vizsgáljuk meg először, hogy a paraméterek milyen választása mellett jöhet létre egyáltalán rezgés! A golyóra ható erő két pontban, a helyzeti energia maximumánál és az egyensúlyi helyzetben nullával egyenlő (l. az ábrát).
| | (2) | ahonnan
Ha -t csökkentjük, a helyzeti energiát egyre inkább az elektrosztatikus energia határozza meg, kis -k esetén a minimum eltűnik. Határesetben a egyenlet a és ponthoz tartozó megoldása egybeesik, tehát a hozzátartozó gyöktényező az egyenlet gyöktényezős alakjában kétszer fordul elő! Ennek következtében ez a gyök a bal oldal deriváltjának is gyöke: Ez az egyenlet már csak másodfokú, a fizikailag lényeges gyöke . (A második gyök .) Ha tehát egy értéke mellett és egy pontba esik, ez a pont -nál van. A egyenletbe helyettesítve meghatározható: Rezgés csak akkor jöhet létre, ha . A további számítások során harmadfokú egyenletek megoldására lesz szükség. Ez ugyan általános esetben is megtehető, azonban az összefüggések annyira bonyolulttá válnak, hogy taglalásuk gyakorlatilag lehetetlen. Ezért ezután csak azzal a speciális esettel foglalkozunk, amikor . 2. Határozzuk meg a maximális amplitúdójú rezgés nyugalmi helyzetét és szélső pontjait! A és pontban a golyóra ható erők eredője nulla. A egyenletben helyére -at helyettesítve és az új ismeretlent bevezetve Az egyenlet három gyöke közül , a töltéshez közeli szélső pontot határozza meg. esetén , ez fizikailag értelmetlen gyök. , a rezgés nyugalmi helyzetét adja. A rezgés teljes energiájára -t -be helyettesítve adódik. esetén a golyó a töltésbe zuhan, esetén rezgés alakul ki. A helyzeti energia a másik szélső helyzetben is , így -ből -ra harmadfokú egyenlet adódik. Ennek az egyenletnek is (kétszeres) gyöke, így gyöktényezőjével osztva az egyenlet fokszáma redukálható és könnyen meghatározható, . A rezgés teljes amplitúdója tehát , nyugalmi helyzete . A legnagyobb energiájú "rezgés'' tehát tulajdonképpen nem rezgés, mivel a pontban levő labilis egyensúlyi helyzetet a golyó egyre csökkenő sebességgel végtelen hosszú idő alatt éri el. -nál akármilyen kis értékkel kisebb energiák esetén a rezgésidő természetesen véges. 3. Érdemes meghatározni a nagyon kis amplitúdójú rezgések rezgésidejét. A mozgás ekkor jó közelítéssel harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető. Ugyanis az kitérést -től számítva a visszatérítő erő alapján:
Az első két tag összege alapján , hiszen az egyensúlyi helyzet. Így a visszatérítő erő közelítőleg -nal arányos, az arányossági tényező a speciális esetben | | A kis amplitúdójú rezgések rezgésideje tehát |
|