Kezdőlap


Feladat:	1577. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pelle Judit
Füzet:	1980/február, 92 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mesterséges holdak, Kepler II. törvénye, Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/április: 1577. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A földközeli ponthoz tartozó vezérsugár $(r_{p})$ és a rá merőleges vezérsugár $(r_{⊥})$ hosszának ismeretében egyszerű geometriai összefüggések segítségével meg lehet határozni a műhold ellipszispályájának paramétereit.

1. ábra

Az 1. ábra alapján a fél nagytengely:

\begin{matrix} a = c + r_{p}, \end{matrix}

(1)

ahol

\begin{matrix} c = \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} \end{matrix}

(2)

(

b

a fél kistengely). A

(c; r_{⊥})

koordinátájú pont rajta van az ellipszisen, így az ellipszis egyenletét felhasználva:

\begin{matrix} (c^{2} / a^{2}) + (r_{⊥}^{2} / b^{2}) = 1. \end{matrix}

(3)

Az (1)‐(3) egyenletekből a pálya paraméterei:

\begin{matrix} a = \frac{r_{p}^{2}}{2 r_{p} - r_{⊥}} = 36 \cdot 10^{6} m; c = \frac{r_{p} (r_{⊥} - r_{p})}{2 r_{p} - r_{⊥}} = 18 \cdot 10^{6} m; \\ b = \sqrt[]{a^{2} - c^{2}} = 31, 18 \cdot 10^{6} m . & (4) \end{matrix}

A műhold energiája a keringés során

\begin{matrix} E = - f (M m / r) + (1 / 2) m v^{2}, \end{matrix}

(5)

ahol

f

a gravitációs állandó,

M

és

m

a Föld, illetve a műhold tömege,

r

a Földtől mért távolság,

v

a műhold sebessége. Centrális erőtérben történő mozgásnál a másik mozgásállandó az ún. területi sebesség (a vezérsugár által időegység alatt súrolt terület):

\begin{matrix} v_{t} = (1 / 2) r v sin φ, \end{matrix}

(6)

ahol

φ

a vezérsugár és a sebességvektor által bezárt szög.
Alkalmazzuk a fenti megmaradási tételeket a földközeli

(r_{p} = a - c)

és a földtávoli

(r_{a} = a + c)

pontokra, felhasználva, hogy ezekben a helyzetekben

φ = 90^{\circ}

\begin{matrix} E = - f (M m / r_{p}) + (1 / 2) m v c_{p}^{2} = - f (M m / r_{a}) + (1 / 2) m v_{a}^{2}, & (7) \\ v_{t} = (1 / 2) r_{p} v_{p} = (1 / 2) r_{a} v_{a} . & (8) \end{matrix}

A (7) és (8) egyenleteket megoldva a megmaradó mennyiségekre, az összenergia:

\begin{matrix} E = - f \frac{M m}{r_{a} + r_{p}} = - f \frac{M m}{2 a}, \end{matrix}

(9)

a területi sebesség:

\begin{matrix} v_{t}^{2} = - [E / (2 m)] r_{a} r_{p} = [b^{2} / (4 a)] f M . \end{matrix}

(10)

A kérdezett helyzetben (5) és (9) alapján a műhold sebessége:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{f M [(2 / r_{⊥}) - (1 / a)]} = 4, 3 km / s, \end{matrix}

(11)

míg a sebesség és a vezérsugár által bezárt szög (6) és (10) alapján:

\begin{matrix} 180^{\circ} - φ = arc sin \frac{2 v_{t}}{r_{⊥} v} = arc sin \frac{b}{\sqrt[]{2 a r_{⊥} - r_{⊥}^{2}}} = 63^{\circ} 27' . \end{matrix}

(12)

2. ábra

A területi sebesség ismeretében a perigeum és a kérdezett helyzet közt eltelt időt a vezérsugár által súrolt terület kiszámításával határozhatjuk meg. A 2. ábrán az ellipszist egy

a

sugarú körből származtattuk

(b / a)

affinitással. Mivel

cos ω = c / a = 1 / 2

és így

ω = 2 π / 6

, a

P F Q

körszelet területe:

\begin{matrix} A = a^{2} π \frac{ω}{2 π} - \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{8} = a^{2} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt[]{3}}{8}) . \end{matrix}

(13)

A vezérsugár által súrolt terület:

\begin{matrix} A^{*} = A (b / a) = a b [(π / 6) - (\sqrt[]{3} / 8)], \end{matrix}

(14)

és az eltelt idő:

\begin{matrix} t = \frac{A^{*}}{v_{t}} = 2 \sqrt[]{\frac{a^{3}}{f M}} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt[]{3}}{8}) = 110 perc . \end{matrix}

(15)

Pelle Judit (Eger, Szilágyi E. Gimn., III. o. t.)