Feladat:	1575. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Zsolt
Füzet:	1980/február, 91 - 92. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/április: 1575. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az 1. ábra alapján írjuk fel a mozgásegyenleteket! $a\text{'}$ a $2m$ tömegű test, $a$ a $m$ tömegű testek gyorsulása (pozitív irányukat a nyilak mutatják), $K$ a kötélerő. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2mg-2K\text{cos}\beta =2ma\text{'}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle K-mg=ma\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol $\beta ={180}^{\circ }-\alpha$. A két gyorsulás közötti kapcsolatot az a feltétel határozza meg, hogy a kötél nyújthatatlan. Vizsgáljuk a rendszer állapotát kis $\Delta t$-vel különböző időpillanatokban. Jelölje $\Delta x\text{'}$ a $2m$ tömegű, $\Delta x$ az $m$ tömegű test elmozdulását.     1. ábra     2. ábra   A geometriai viszonyokat a 2. ábra mutatja, amelyről leolvasható, hogy kis $\Delta t$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta x\text{'}\text{cos}\beta =\Delta x\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $t=0$-ra $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{'}\text{cos}\beta =a\mathrm{,}}\end{array}$ mivel $t=0$-ban a $\beta$ szög változásának sebessége nulla. Ezt fölhasználva, a kötélerő kiküszöbölése után az $\begin{array}{c}{\displaystyle a=g\frac{1-\text{cos}\beta }{1+\text{cos}{}^2\beta }\text{cos}\beta \mathrm{,}a\text{'}=g\frac{1-\text{cos}\beta }{1+\text{cos}{}^2\beta }}\end{array}$ eredményt kapjuk. Mivel $\text{cos}\beta <1$, a $2m$ tömegű test mindig lefelé fog mozogni. A rövid, $0\mathrm{,}1\text{s}$-os időtartam alatt $\beta$ és ennélfogva a gyorsulások is közel állandónak tekinthetők, s az elmozdulások a négyzetes úttörvénnyel adhatók meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta x=\left(a/2\right)\Delta t^2;\Delta x\text{'}=\left(a\text{'}/2\right)\Delta t^2\mathrm{.}}\end{array}$ A numerikus eredmények: az a) esetben $\beta ={45}^{\circ }$: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a=g\frac{\sqrt[]{2}-1}{3};a\text{'}=g\frac{\sqrt[]{2}-1}{3}\sqrt[]{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \Delta x=0\mathrm{,}65\text{cm};\Delta x\text{'}=0\mathrm{,}9\text{cm}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A b) esetben $\beta ={60}^{\circ }$: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\left(1/5\right)g;a\text{'}=\left(2/5\right)g;\Delta x=1\text{cm};\Delta x\text{'}=2\text{cm}\mathrm{.}}\end{array}$   Horváth Zsolt (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o. t.)   Megjegyzés. Sok rossz megoldás adódott abból, hogy többen a $K=mg$ egyenletet használták, ami az indulás pillanatában már nem igaz.