Feladat:	1568. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kaffka István
Füzet:	1980/január, 43 - 45. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szilárd anyagok szerkezete, Szakítószilárdság, Egyéb merev test egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/március: 1568. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az erőket akkor tekintjük pozitívnak, ha függőlegesen felfelé mutatnak, a forgatónyomatékokat pedig akkor, ha az óramutató járásával egy irányba forgatnak. Vizsgáljuk a golyó és a tartószerkezet egyensúlyát (1. ábra)! A rendszer akkor van nyugalomban, ha a rúd rá $Q$ erővel és $Ql/8$ forgatónyomatékkal hat. A szerkezet a rúdra ezért $-Q$ erőt és $N=Ql/8$ forgatónyomatékot gyakorol. Írjuk fel a rúd egyensúlyi egyenleteit (2. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1+F_2-Q-G=0}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1\left(l/4\right)+Q\left(l/8\right)+N-F_2\left(l/4\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1+F_2=\frac{Q+G}{2}\mathrm{.}}\end{array}$     1. ábra     2. ábra   A továbbiakban feltesszük, hogy a tartószerkezet felerősítési helyének méretei elhanyagolhatóak, és ott a rúd szilárdsága nem változott. Felhasználjuk az 1460. feladat megoldásánál levezetett képleteket. Ha az egyensúlyban levő rúd (a bal végétől számítva) hosszú darabjára a súlyerőn kívül $F_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{F}_n$ függőleges hatásvonalú erők és $N_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{N}_m$ forgatónyomatékok hatnak, akkor ennek a darabnak a jobb szélére általánosan $\begin{array}{c}{\displaystyle P=G\left(x/l\right)-\sum _{i=1}^n{F}_i}\end{array}$ nyíróerőt és $\begin{array}{c}{\displaystyle M=\frac{G{x}^2}{2l}-\sum _{i=1}^n{F}_i{y}_i-\sum _{i=1}^n{N}_i}\end{array}$ forgatónyomatékot gyakorol a rúd másik része, ahol $y_i$ az $F_i$ erő hatásvonalának a távolsága a vizsgált darab jobb szélétől. Az erő és a forgatónyomaték helyfüggését a 2. ábra alapján könnyen megadhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle G\left(x/l\right);0\leqq x\leqq l/4}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle G\frac{x}{l}-\frac{Q+G}{2};\frac{l}{4}\leqq x\leqq \frac{5l}{8}}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle G\frac{x}{l}-\frac{Q+G}{2};\frac{5l}{8}\le x\le \frac{3l}{4}}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle G\frac{x}{l}-G;3l/4\leqq x\leqq l\mathrm{,}}\end{array}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle M\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{G{x}^2}{2l};\phantom{-\frac{G+Q}{2}\left(x-\frac{l}{4}\right)}0\leqq x\leqq l/4}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \frac{G{x}^2}{2l}-\frac{G+Q}{2}\left(x-\frac{l}{4}\right);l/4\leqq x\leqq 5l/8}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \frac{G{x}^2}{2l}-\frac{G+Q}{2}\left(x-\frac{l}{4}\right)+Q\left(x-\frac{5l}{8}\right)+\frac{Ql}{8};}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \phantom{\frac{G{x}^2}{2l}-G\left(x-\frac{l}{2}\right);}5l/8\leqq x\leqq 3l/4}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \frac{G{x}^2}{2l}-G\left(x-\frac{l}{2}\right);3l/4\leqq x\leqq l\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$     3. ábra   A rúd eltörésének helyét az anyagi minőségtől függően az szabja meg, hogy hol maximális a $|P\left(x\right)|$, ill. az $|M\left(x\right)|$ függvény. A 3. ábra a $P\left(x\right)$ és az $M\left(x\right)$ függvényt ábrázolja olyan esetben, amikor $Q$ elég nagy. Az 1460. feladathoz képest annyiban van változás, hogy tartószerkezet által kifejtett $N$ forgatónyomaték miatt $M\left(x\right)$ az $x=5l/8$ pontban $-N$ nagyságú ugrást szenved. Ha a nyíróerő növekedése miatt törne el a rúd, akkor ez egyenlő eséllyel bármely alátámasztási pontban bekövetkezhet. Valószínűbb azonban, hogy a törés $|M\left(x\right)|$ maximumánál következik be. Vizsgáljuk $|M\left(x\right)|$ szélsőértékeit! A $3l/4\leqq x\leqq l$ és a $0\leqq x\leqq l/4$ esetekben a függvény független $Q$-tól. Az $l/4\leqq x\leqq 5l/8$ tartományban ‐ miként erről deriválással meggyőződhetünk ‐ $G/4\leqq Q$ esetén viselkedik $M\left(x\right)$ úgy, ahogyan azt ábrázoltuk. Ha ekkor törik el, akkor az az $x_0=5l/8$ helyen történik. Ha $G/8<Q<G/4$, akkor $M\left(x\right)$-nek az $x_0=\left(l/2\right)\left[1+\left(Q/G\right)\right]$ helyen lokális minimuma van, ahol $|M\left(x\right)|$ nagyobb, mint bármely más helyen. Ha viszont $G/8>Q$, akkor az alátámasztási pontokban ébred a legnagyobb belső forgatónyomaték. Ha eltörik a rúd, akkor a tartószerkezetre akasztott golyó nélkül is eltörik. A megoldás független a tartószerkezet konkrét alakjától, csak a golyón átmenő függőleges egyenes legyen a rögzítési ponttól $l/8$ távolságra.    Kaffka István (Budapest, Piarista Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján