Kezdőlap


Feladat:	1567. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	György Zoltán
Füzet:	1980/január, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nehézségi erő, Egyéb erőtörvény, Mozgási energia, Gravitációs helyzeti energia, Teljesítmény, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/március: 1567. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat nem közli, hogy az autók közötti távolságot melyik időpontban kell meghatározni, ezért vizsgáljuk a mozgás teljes időtartamát! Először azt nézzük, hogy az egyik autó hogyan mozog.
A vízszintes szakaszokon a gépkocsit csak a közegellenállási erő fékezi. Az időegység alatt végzett munka $P = F v_{1}$ , ahol $v_{1}$ a sebesség, $F = {a v}_{1}^{2}$ a közeg-ellenállási erő, $P$ pedig a motor teljesítménye. Az adatokat behelyettesítve kapjuk, hogy $v_{1} = 20, 5 m/s$ . Az ábrán folyamatos vonallal rajzolt út‐idő összefüggésen az állandó sebességű mozgást egyenes szakasz jellemzi.

Az emelkedőkön a motor teljesítménye a kocsi helyzeti energiáját is növeli, tehát

\begin{matrix} P = a v_{2}^{3} + m g sin α \cdot v_{2}, \end{matrix}

ahol

α

a lejtő hajlásszöge. A harmadfokú egyenlet grafikusan vagy próbálgatással oldható meg, és végeredményben a sebesség az első emelkedőn

v_{2} = 5, 9 m/s

. Hasonló módon kapjuk, hogy a második emelkedőn a sebesség

v_{3} = 13, 2 m/s

. A felső vízszintes szakaszon a sebesség

v_{4} = v_{1}

.
A számított sebességeket az autó akkor éri el, ha már hosszabb ideje halad ugyanazon a szakaszon, mert kezdetben az energiamérleget a mozgási energia változása is befolyásolja. Az átmenet részleteit nem tudjuk kiszámítani, de valószínű, hogy az átmenet időtartama az út teljes idejéhez képest nagyon kicsi.
Az egyik autó teljes út‐idő diagramját tehát négy egyenes szakasszal közelíthetjük (l. az ábrát). A másik autó mozgása minden részletében azonos ezzel és az egyes sebességtartományok közötti átmenet az útnak ugyanazon a szakaszán következik be, ezért a megfelelő út‐idő diagramot az ábrán vízszintes eltolással kapjuk. Az eltolást úgy kell elvégezni, hogy a feladat kikötése szerint a felső vízszintes szakaszon a kocsik közötti távolság

Δ x_{4} = 100 m

legyen. (Az ábrán szaggatott vonallal jelzett esetben

Δ x_{4}

értékét nagyobbra választottuk.)

Az ábráról látható, hogy az egyes szakaszokon a kocsik közötti távolság sebességük arányában változik, tehát például

\begin{matrix} \frac{Δ x_{2}}{v_{2}} = \frac{Δ x_{4}}{v_{4}} . \end{matrix}

A sebességek ismeretében a távolságok meghatározhatók, és azt kapjuk, hogy az alsó vízszintes szakaszon

Δ x_{1} = 100 m

, az első emelkedőn

Δ x_{2} = 29 m

, a második vízszintes emelkedőn pedig

Δ x_{3} = 65 m

volt. Az ábráról az is látható, hogy az autók közötti távolság ezeket az állandó értékeket egy rövid,

\begin{matrix} t = \frac{100 m}{20, 5 m/s} \approx 5 s \end{matrix}

idő alatt veszi fel. Ennek az átmenetnek a részleteit befolyásolja az egyes autók mozgásainak leírásában végzett közelítésünk is.

György Zoltán (Esztergom, Temesvári Pelbárt Gimn., I. o. t.)