Kezdőlap


Feladat:	1564. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Gyula , Csordás András , Hajdu Csaba , Juhász Zoltán , Kaufmann Zoltán , Márkus Ferenc , Ratkai Ferenc , Trócsányi Zoltán , Várhelyi Tamás
Füzet:	1979/december, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rugalmas erő, Egyéb erőtörvény, Áramvezetőre ható erő, Rezgőkör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/február: 1564. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg a rúd mozgását a tranziens jelenségek lejátszódása után.
A rúdra ható erő

\begin{matrix} F = B I l - 2 k x, \end{matrix}

ahol

x

a rúd egyensúlyi helyzettől való távolsága és

I

a rúdon átfolyó áram.

v

sebességgel mozgó rúdban indukálódó feszültség

u = - B l v

. A kondenzátor árama

\begin{matrix} I = d Q / d t = C \cdot (d u / d t) = - C B l (d v / d t) = - C B l a, \end{matrix}

ahol

a

a rúd gyorsulása. (Felhasználtuk, hogy Kirchhoff II. törvénye alapján a kondenzátor pillanatnyi feszültsége megegyezik a rúdban indukálódott feszültséggel. A Kirchhoff-törvény ilyen egyszerű alakban csak a bekapcsolási tranziensek lejátszódása után érvényes.)
A rúd mozgásegyenlete így

\begin{matrix} m a = F = - C B^{2} l^{2} a - 2 k x, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = - \frac{2 k}{m + C B^{2} l^{2}} x . \end{matrix}

Ez egy

\begin{matrix} ω_{mech} = \sqrt[]{\frac{2 k}{m + C B^{2} l^{2}}} \end{matrix}

körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgás egyenlete.
Vizsgáljuk meg a bekapcsolási jelenségeket ! Kezdetben a rúd kitérése és sebessége is

0

, így a rúdban indukálódó feszültség is

0

, a Kirchhoff-törvényt tehát csak úgy tudjuk kielégíteni, ha feltesszük, hogy a vezető ellenállása

(R)

vagy önindukciós együtthatója

(L)

nem zérus.
Tegyük fel, hogy

R_{0}

, de

L \neq 0

, tehát Joule-féle hőveszteség nincs, de jelentős mértékű sugározási energiaveszteség van.
A kör elektromos rezgéseinek frekvenciája:

ω_{L C} = \frac{1}{\sqrt[]{L C}}

. Ez jelen esetben igen nagy érték, hiszen

L

igen kicsi. Ez azt jelenti, hogy a rúdban levő elektronok igen nagy gyorsulással mozognak, s így jelentős energiát sugároznak ki.
Feltesszük, hogy ez a tranziens olyan hamar megszűnik, hogy a rúd ezalatt még alig mozdul el. Közben a kondenzátor kisülése révén

Q

töltés halad át a rúdon, amelynek hatására a rúd

\begin{matrix} m v_{0} = B l \int_{0}^{t} I d t = B L Q, \end{matrix}

(1)

impulzust kap. A

v_{0}

sebességű rúdban

U_{0} = - B l v_{0}

feszültség indukálódik: egyben ennyi lesz a kondenzátor feszültsége is, ugyanis a tranziensek lejátszódása után az

I

áram már lényegesen lassabban változik, s a kis

L

önindukcióra eső feszültség elhanyagolható

U_{0}

-hoz képest. Az átáramlott töltés a kondenzátor feszültségeséséből

\begin{matrix} Q = C \cdot Δ U = C (U - B l v_{0}) . \end{matrix}

(2)

Az (1)‐(2) egyenletrendszerből

\begin{matrix} v_{0} = \frac{B l C U}{m + C B^{2} l^{2}} . \end{matrix}

Ez a

v_{0}

sebesség a harmonikus rezgőmozgás maximális sebessége, a rezgés kör-frekvenciájának és amplitúdójának szorzata. Tehát az amplitúdó:

\begin{matrix} A = \frac{v_{0}}{ω} = \frac{B l C U}{\sqrt[]{2 k} \sqrt[]{m + C B^{2} l^{2}}} . \end{matrix}

Kaufmann Zoltán (Vác, Sztáron S. Gimn., IV. o. t.) és
Hajdú Csaba (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A nehézségi gyorsulás nem szerepel az amplitúdó kifejezésében (a nehézségi erő csupán az egyensúly helyét tolja el).
2. Közelítéseink a következő paraméterértékek esetén kielégítőek:
a)

| U_{0} | ≪ U, amiből \frac{B^{2} l^{2} C}{m} ≪ 1 .

b) A tranziens folyamat ideje lényegesen kisebb a mechanikai rezgés periódusidejénél, azaz

\begin{matrix} ω_{L C} ≫ ω_{mech}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 2 k \end{matrix}

3. A megoldás során elhanyagoltuk a kör saját mágneses terének hatását a rúdon átfolyó áramra.