Kezdőlap


Feladat:	1560. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajnóczy Ildikó , Hudi István , Jilling Ferenc , Károlyi Gyula , Kiss Ernő , Várhelyi Tamás
Füzet:	1980/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Arkhimédész törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/február: 1560. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az edény falát igen vékonynak vesszük és az edény súlyától, valamint az edényre ható felhajtóerőtől eltekintünk.

a) Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az edény teteje még nem merül a folyadék alá (

1 a

ábra). Egyensúly esetén az edény tetejére, ill. a dugattyúra ható erők eredője nulla:

\begin{matrix} p_{0} A = p A, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} p A + F = (p_{0} + γ x) A . \end{matrix}

(2)

Innen az adódik, hogy az edénybe bezárt gáz nyomása ‐ és így térfogata - nem változik, a dugattyú mélysége :

\begin{matrix} x = F / (γ A) . \end{matrix}

(3)

1. ábra

b) Az edény tetejének bemerülése után (

1 b

ábra) az edény tetejére és a dugattyúra vonatkozó egyensúlyi egyenletek:

\begin{matrix} p_{0} A + γ [x - (V / A)] \cdot A = p A, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} p A + F = (p_{0} + γ x) A . \end{matrix}

(5)

A bezárt gázra érvényes a Boyle‐Mariotte-törvény :

\begin{matrix} p_{0} V_{0} = p V . \end{matrix}

(6)

a (4)‐(6) egyenletekből a dugattyú mélysége:

\begin{matrix} x = \frac{p_{0} V_{0}}{F} - \frac{p_{0}}{γ} + \frac{F}{γ A} . \end{matrix}

(7)

Károlyi Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Az egyensúlyi helyzet stabilitásának vizsgálatához ábrázoljuk az

x (F)

függvényt (2. ábra)! Amíg az edény teteje a folyadék felszíne alá nem merül,

x

a dugattyúra ható erővel arányosan nő, így az egyensúlyi helyzet stabil. Az edény teteje akkor éri el a folyadék felszínét, amikor

α = V_{0} / A

, ahonnan

F_{0} = V_{0} γ

2. ábra

Ha az edény teteje a folyadék felszíne alá merül, az edényben levő gáz nyomása (a külső légnyomáson kívül) az edény fölött levő folyadék hidrosztatikai nyomásával is egyensúlyt kell, hogy tartson a (4) egyenletnek megfelelően. A megnövekedett nyomás az edénybe zárt gáz térfogatának csökkenésével jár együtt, tehát csökken az edényre ható felhajtóerő, és így az edény egyensúlyban tartásához szükséges erő is. Így a

2

. esetben is

\begin{matrix} F ≦ F_{0} = V_{0} γ . \end{matrix}

2

. eset egyenleteit

F > V_{0} γ

esetén formálisan alkalmazva adódik, hogy feltételezésünkkel ellentétben az edény teteje a folyadék felszíne alatt van.)
A (7)-beli függvény

F

szerinti deriválásával ellenőrizhető, hogy

α

-nek az

F_{1} = \sqrt[]{v_{0} γ p_{0} A}

helyen minimuma van. Ha

F_{1} ≧ F_{0}

, azaz

p_{0} > V_{0} / A

, az edényt lefelé húzva egyensúlyban tartásához egyre kisebb erő szükséges (

2 a

ábra). A dugattyú bármilyen mélységben egyensúlyban tartható, az

F

erőt állandóan tartva azonban az egyensúlyi helyzete labilis.
Tegyük föl, hogy

F_{1} < F_{0}

(

2 b

ábra). A dugattyút egyensúlyi helyzeteken keresztül lehúzva, majd felengedve

x

a vastagon kihúzott vonal mentén változik. Húzzuk be ugyanis az edény tetejét a folyadék felszíne alá, majd rögzítsük a dugattyút! Ekkor az edény térfogata hirtelen csökkenni fog, mivel a térfogatcsökkenésből származó belső nyomásnövekedés kisebb, mint az edény tetejére ható hidrosztatikai nyomás növekedése. Hasonlóan a dugattyút felfelé engedve

x

minimumának elérése után az edény teteje hirtelen a felszín fölé emelkedik. Az

F_{1} < F < F_{0}

esetén adódó szakasz ugyan stabil egyensúlyi helyzeteknek felel meg, azonban ezek a pontok egyensúlyi helyzeteken keresztül nem érhetők el.

Bajnóczy Ildikó (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján