Feladat: 1556. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Egyed Károly ,  Fábián László ,  Sipos Adrien 
Füzet: 1979/december, 228 - 229. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb változó áram, Egyéb kondenzátor-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/január: 1556. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kapcsolót az 1. állásba kapcsolva az A kondenzátor UA,1=U feszültségre töltődik fel, töltése CU. 2. állásba kapcsolva ez a töltés a két kondenzátoron oszlik meg, így azok feszültsége UA,2=UB,2=CU/(2C)=U/2. Ismét az 1. állásba kapcsolva UA,3=U;UB,3=U/2 marad, a kondenzátorok együttes töltése CUA,3+CUB,3=(3/2)CU. Így a 2. állásban UA,4=UB,4=(3/4)U. Tovább folytatva a kapcsolgatást, a kondenzátorok feszültsége tovább nő és U-hoz tart.
 
 

Határozzuk meg a kondenzátorok feszültségét tetszőleges számú kapcsolás után ! Tegyük fel, hogy 2n kapcsolás után (2. állásban) UA,2n=UB,2n=U-ΔU2n. Ekkor 1-be kapcsolva UA,2n+1=U,UB,2n+1=UB,2n. A két kondenzátor együttes töltése
UA,2n+1C+UB,2n+1C=(2U-ΔU2n)C.

2-be kapcsolva a töltés a két kondenzátoron egyenletesen oszlik meg, így
UA,2n+2=UB,2n+2=U-(1/2)ΔU2n,ΔU2n+2=(1/2)ΔU2n.

A kondenzátorok feszültségének U-tól való eltérései tehát mértani sorozatot alkotnak, ΔU minden két kapcsolás után felére csökken.
Most már fel tudjuk írni a kondenzátorok feszültségét tetszőleges számú kapcsolás esetén (n=0,1,2,...):
Páratlan számú kapcsolás után (1. állásban):
UA,2n+1=U,UB,2n+1=U[1-(1/2n)].

Páros számú kapcsolás után (2. állásban):
UA,2n+2=UB,2n+2=U[1-(1/2n+1)].
 

 Egyed Károly (Gödöllő, Török I. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A kondenzátorok feltöltődéséhez szükséges időt a kondenzátorok kapacitása és a vezeték ellenállása, a feszültség változását az
U=U0[1-e-(τ/T)]
összefüggés határozza meg, ahol U0 a kondenzátorra kapcsolt feszültség, τ=RC a töltődés időállandója. Figyelembe véve, hogy a kondenzátorok töltődéséhez véges idő szükséges, a kondenzátorok feszültségének U-tól való eltérése nem 1/2, hanem (1/2)e-τ/T kvóciensű mértani sorozattal írható le, ahol T a két kapcsolás között eltelt idő.
 

 Fábián László (Kalocsa, I. István Gimn., IV. o. t.)