Kezdőlap


Feladat:	1555. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benkő Zsigmond , Csordás András , Keszthelyi Bettina , Márk Géza , Szalontai Zoltán
Füzet:	1979/november, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Közegellenállás, Egyéb erőtörvény, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Munkatétel, Differenciálási szabályok, Határozatlan integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: 1555. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A közegellenállási erő a sebesség négyzetével arányos:

\begin{matrix} F_{k} = - k v^{2} . \end{matrix}

(1)

Tudjuk, hogy

v_{0} = 40 km/h

sebességnél a kötelet

F_{0} = - F_{k} (v_{0}) = 400 N

erő feszíti. Innen

\begin{matrix} k = F_{0} / v_{0}^{2} = 3, 24 kg/m . \end{matrix}

(2)

A kötél elengedése után a vízisíelőre csak a közegellenállási erő hat; mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m a = F_{k} = - k v^{2}, & (3) \\ m \cdot (d v / d t) = k v^{2} . \end{matrix}

A kapott összefüggést így is írhatjuk:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} (- 1 / v) = - k / m, \end{matrix}

így integrálva:

\begin{matrix} - 1 / v = - (k / m) t + C_{1}, \end{matrix}

(4)

ahol

C_{1}

állandó. A

C_{1}

konstans értékét abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy

t = 0

esetén a sebesség

v_{0}

\begin{matrix} C_{1} = - 1 / v_{0} . \end{matrix}

(5)

Így a sebesség időfüggése:

\begin{matrix} v (t) = \frac{m v_{0}}{k v_{0} t + m} . \end{matrix}

(6)

A vízisíelő

t_{1}

ideig siklik a vízen a kötél elengedése után, addig, amíg sebessége nagyobb a

v_{m i n} = 10 km/h

értéknél. Eszerint

\begin{matrix} v_{m i n} = \frac{m v_{0}}{k v_{0} t_{1} + m}, innen t_{1} \frac{m}{k v_{0}} \cdot \frac{v_{0} - v_{m i n}}{v_{m i n}} = 5,83 s . \end{matrix}

(7)

A (6) összefüggés ismeretében a

0

-tól

t_{1}

-ig terjedő időintervallum alatt megtett út:

\begin{matrix} s = \int_{0}^{t_{1}} v (t) d t = \int_{0}^{t_{1}} \frac{m v_{0}}{k v_{0} t + m} d t = {[\frac{m}{k} ln (k v_{0} t + m)]}_{0}^{t_{1}} = \frac{m}{k} ln \frac{k v_{0} t + m}{m} . \end{matrix}

(8)

t_{1}

és

k

értékét behelyettesítve a kérdezett út:

\begin{matrix} s = (m v_{0}^{2} / F_{0}) ln (v_{0} / v_{m i n}) = 30 m . \end{matrix}

(9)

Szalontai Zoltán (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Lényegesen egyszerűbb a megoldás, ha a sebességet közvetlenül a (kötél elengedése után) megtett út függvényében vizsgáljuk. A közegellenállási erő

Δ s

úton végzett munkája a vízisíelő kinetikus energiáját csökkenti:

\begin{matrix} - | F_{k} | Δ s = Δ E_{{k i n}^{1}} \\ - k v^{2} Δ s = (1 / 2) m Δ v^{2}, \\ Δ v^{2} / Δ s = - (2 k / m) v^{2} . \end{matrix}

Ebből a

Δ s \to 0

határátmenettel a következőket kapjuk:

\begin{matrix} d v^{2} / d s = - (2 k / m) v^{2} . \end{matrix}

A nyert egyenletet így is írhatjuk:

\begin{matrix} \frac{d}{d s} (ln v^{2}) = - 2 k / m, \end{matrix}

integrálás után a következőt kapjuk:

\begin{matrix} v^{2} = v_{0}^{2} e^{- (2 k / m) s}, \end{matrix}

ahol figyelembe vettük, hogy a kötél elengedésekor

(s = 0)

a sebesség értéke

v_{0}

volt.
Négyzetgyököt vonva:

\begin{matrix} v = v_{0} e^{- (k / m) s} . \end{matrix}

A síelő addig marad a víz felett, míg

v

eléri

v_{m i n}

, értékét:

\begin{matrix} s = - (m / k) ln (v_{m i n} / v_{0}) = (m v_{0}^{2} / F_{0}) ln (v_{0} / v_{m i n}) = 30 m . \end{matrix}

Megjegyzés. A sebesség ‐ út összefüggéshez közvetlenül a mozgásegyenletből is eljuthatunk:

\begin{matrix} m a = - k v^{2}, \\ m (d v / d t) = m (d v / d s) (d s / d t) = m (d v / d s) v = - k v^{2}, \\ így d v / d s = - (k / m) v, ahonnan v = v_{0} e^{- (k / m) s} . \end{matrix}

Keszthelyi Bettina (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)