Feladat: 1554. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bene Gyula ,  Horváth Róbert ,  Horváth Viktor ,  Kolláth Zoltán ,  Kovács Gyula ,  Salánki Ferenc ,  Szalontai Zoltán ,  Tóth Pál ,  Umann Gábor 
Füzet: 1979/december, 226 - 227. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Bolygók, Árapály, Bolygómozgás, Kepler törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/január: 1554. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy bolygó pályára állásakor a forgási és a keringési időt függetlennek tekinthető tényezők határozták meg. A forgási időt a bolygó kialakulásának konkrét körülményei szabták meg, például az, hogy milyen gyorsan forgó és mekkora gázfelhőből húzódott össze mai méretére. A keringési idő Kepler III. törvénye szerint függ egy, a Napra jellemző állandótól és a pályasugártól. A pályára állás után a Nap gravitációs terének inhomogenitása miatt a bolygó közelítőleg ellipszoid alakú deformációt szenved. Az egyszerűség kedvéért először tegyük fel, hogy a forgástengely merőleges a kör alakúnak tekintett pálya síkjára.

 

 
1. ábra

 
Ha a tengely körüli forgás és a keringés szögsebessége, (ωfésωk) megegyezik, akkor az ellipszoid hossztengelye mindig a Nap felé mutat, és helyzete a bolygóhoz képest nem változik. Ha viszont a két szögsebesség egymástól különböző, akkor a bolygóhoz viszonyítva a deformáció időben változik, a hossztengely Δω=ωk-ωf szögsebességgel forog a bolygóhoz képest (ωk előjelét rögzítettük pozitívnak). A belső súrlódás miatt azonban a hossztengely nem a Nap felé mutat, hanem Δω-tól, a rugalmassági és súrlódási állandóktól függő α szöggel késik (1. ábra). A gravitáció inhomogenitása miatt az elfordult ellipszoidra |Δω|-et csökkentő forgatónyomaték hat. Erről könnyen meggyőződhetünk az ωf<0<ωk,(α>0); a 0≤ωf<ωk,(α>0) és az ωk<ωf,(α<0) eseteket sorra megvizsgálva. Az 1. ábra az első esetnek megfelelő helyzet vázlata. (Itt F1 és F2 a bolygónak a forgástengely és a Nap által meghatározott sík két oldalán levő felére ható gravitációs erő. A támadáspontok a síkoktól ugyanolyan messze vannak, de F1>F2, mert a bolygó egyik feléhez közelebb van a Nap, mint a másikhoz. Innen származik a forgatónyomaték.)
A Naprendszer bolygóinak többségénél az egyenlítő síkja és a keringési sík nem esik egybe. Ha eltekintünk az árapály jelenségtől, a bolygó forgását egy állandó ωf=(ωx,ωy,ωz) vektor jellemzi. A pálya egy adott pontjában ωf-et az (ωr,ωt,ωz) komponensekkel is megadhatjuk (2. ábra).
 

 
2. ábra

 

A Δωz=ωk-ωz jelölést használva a z-tengely körül αz szöggel elfordult ellipszoidra |Δωz|-et csökkentő forgatónyomaték hat.
A pálya egy pontjában ωt és a belső súrlódás miatt a deformációs ellipszoid hossztengelye a pálya síkjától egy αt szöggel fordul el. Mivel ωk-nak nincs érintőleges komponense, a forgatónyomaték |Δωy|=|ωt|-et fogja csökkenteni.
A bolygó r tengely körüli forgása az adott pontban nem lassul.
Következésképp az ωz az ωk-hoz fog tartani, és mivel ωx és ωy hosszú idő átlagában azonos mértékben vesz részt ωt-ben, elegendő idő múlva ezek zérussá válnak. A χ=ωk|ωf|=TfTk hányadosban ez úgy tükröződik, hogy χ idővel 1-hez tart.
A gravitációs tér inhomogenitásával nő az a sebesség, amivel χ 1-hez tart. Nehézségi erőtér inhomogenitása a vonzócentrum közelében a legnagyobb, a tárgyalt hatás legerősebben a Naphoz közeli bolygóknál érvényesül. A ,,Csillagászati kisenciklopédia'' (1969) adatai alapján kiszámított χ értékeket az 1. táblázat rögzíti.
 


Bolygó      Merkur        Vénusz        Föld        Mars      Jupiter    Szatur-    Uránusz    Neptu-    Pluto  nusz    nusz  χ   0,67   0⋅91   2,81⋅10-3   1,5⋅10-3   9,49⋅10-3   3,98⋅10-5   1,47⋅10-5   1,09⋅10-5   7,35⋅10-6
 


A legfőbb tendencia valóban az, hogy a napközeli bolygóknál χ egységnyi nagyságrendű, míg távolabbi bolygók χ értéke az 1-től több nagyságrenddel is eltér.
 
 Bene Gyula (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)
 dolgozata alapján
 

Megjegyzések. 1. A Föld és a Hold esetében számottevő az árapály hatása. Ilyenkor a forgási idő hosszú idő múlva egy a hónap és az év közötti értékre áll be. Földünk Holdjára a földi gravitációs inhomogenitásból származó árapálykeltő hatás olyan nagy, hogy a Hold forgási ideje ma már megegyezik keringési idejével.
2. Centrális erők esetén az impulzusmomentum állandó. Esetünkben a bolygóra ható erő nem teljesen centrális, aminek eredményeképp változik a bolygó szögsebessége, illetve impulzusmomentuma.
3. Zárt rendszer impulzusmomentuma állandó. Ez ebben az esetben úgy valósul meg, hogy a bolygó keringési és forgási sebességének lassulásával egyidejűleg nő a Nap szögsebessége.