Kezdőlap


Feladat:	1553. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lorencz Kinga
Füzet:	1979/november, 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: 1553. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A test kis kitérések esetén harmonikus rezgőmozgást végez

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ_{A}}{m g s}} \end{matrix}

(1)

rezgésidővel (fizikai inga), ahol

Θ_{A}

m

tömegű test tehetetlenségi nyomatéka az

A

tengelyre vonatkozóan,

s

pedig az

S

súlypontnak

A

-tól mért távolsága.

Az eltávolított rész tömege

m / 3

, mivel

m

a megmaradt rész tömege. A súlypont a homogén henger

O

középpontjából az

S

pontba tolódik, így

\begin{matrix} (m / 3) \cdot (r / 2) = m (r - s), \end{matrix}

(2)

ahonnan

s = (5 / 6) r

.
Az

A

tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel többszöri alkalmazásával fejezhetjük ki. A tömör, homogén henger

O

tengelyre vonatkozó tehetetlensági nyomatéka

[(1 / 2) \cdot (4 / 3) m r^{2}]

felírható a megmaradt és a kifúrandó rész tehetetlenségi nyomatékainak összegeként:

\begin{matrix} (1 / 2) \cdot (4 / 3) m r^{2} = Θ_{0} + (1 / 2) \cdot (m / 3) {(r / 2)}^{2} + (m / 3) {(r / 2)}^{2} . \end{matrix}

(3)

Innen

Θ_{0} = (13 / 24) m r^{2}

. A súlypontra vonatkoztatva:

\begin{matrix} Θ_{s} + m {(r / 6)}^{2} = Θ_{0}, \end{matrix}

(4)

azaz

Θ_{s} = (37 / 72) m r^{2}

, ill. az A tengelyre felírva:

\begin{matrix} Θ_{A} = Θ_{s} + m {[(5 / 6) r]}^{2}, \end{matrix}

(5)

vagyis

Θ_{A} = (29 / 24) m r^{2}

.
A kapott adatokat (1)-be helyettesítve

T = π \sqrt[]{(29 / 5) \cdot (r / g)} \approx 7, 57 \sqrt[]{r / g}

.
Érdekességként megjegyezhetjük, hogy az egyik alkotója mint tengely mentén felfüggesztett és lengésbe hozott

r

sugarú tömör, homogén hengernek a

T'

rezgésideje nagyon közel esik ehhez az értékhez:

T' = π \sqrt[]{6 (r / g)} \approx 7, 70 \sqrt[]{(r / g)}

Lorencz Kinga (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

A lektor (G. P.) megjegyzése. A közölt megoldás hibás!
A test csak akkor mozogna fizikai ingaként, ha (a vízszintes lap eltávolítása után) a vízszintes

A

alkotója mint tengely körül fordulna el. Esetünkben azonban a test gördül, a forgás mellett transzlációs mozgást is végez. Jól látható, hogy az (1) összefüggés általában nem lehet igaz, ha például az

s = r

esetet (vagyis az állandó falvastagságú csővet) térítjük ki egy kicsit. A cső egyáltalán nem kezd harmonikus rezgőmozgásba, egyáltalán nem tér vissza a kiindulási helyzetébe, így a ,,rezgésideje''

T = \infty

. A periodusidő helyes képlete

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ_{A}}{m g s}} \end{matrix}

(1').