Feladat:	1551. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bognár Ágnes ,  Jilling Ferenc
Füzet:	1979/november, 181 - 183. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Súrlódási határszög, Tapadó súrlódás, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: 1551. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. Terhelés esetén a rúdra a következő erők hatnak (1. ábra): az $F$ terhelés, a $K$ kötélerő, az $N$ támasztóerő és az $S$ súrlódási erő. Írjuk fel ezek egyensúlyának a feltételeit!     1. ábra   Az erők vízszintes komponensei egyensúlyt tartanak, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle K\text{sin}\beta =N\mathrm{,}}\end{array}$ (1) a függőleges komponensek pedig akkor, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle S+K\text{cos}\beta =F\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az $A$ pontra vonatkozó forgatónyomatékok akkor vannak egyensúlyban, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle F\cdot s\text{sin}\alpha =K\cdot s_0\text{cos}\left[{90}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\right]=K\cdot s_0\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Adott $F$ és $S$ mellett akkor és csak akkor lehetséges egyensúly, ha található olyan $K$, $N$ és $S$ érték, amely kielégíti az (1), (2), (3) egyenleteket és emellett teljesül az $\begin{array}{c}{\displaystyle |S|\le \mu N}\end{array}$ (4) feltétel. Ha (4) nem teljesül, akkor nem lehet egyensúly, mert akkor akkora súrlódási erő kellene, amekkora már nem lehet. (3)-ból kifejezzük $F$-et $K$-val, azt (2)-be helyettesítjük és így (1) felhasználásával az $\begin{array}{c}{\displaystyle S=N\left(\frac{s_0\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)}{s\text{sin}\alpha \text{sin}\beta }-\text{ctg}\beta \right)}\end{array}$ (5) egyenletet kapjuk, amely a szinusztétel segítségével az $\begin{array}{c}{\displaystyle S=N\left(\frac{a}{s}\cdot \frac{1}{\text{sin}\alpha }-\text{ctg}\beta \right)}\end{array}$ (6) alakra hozható. (6) és (4) egybevetéséből látható, hogy az egyensúly feltétele az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{a}{s}\cdot \frac{1}{\text{sin}\alpha }-\text{ctg}\beta \right|\le \mu }\end{array}$ (7) egyenlőtlenség teljesülése. Ezt átrendezve $s$-re a következő feltétel adódik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{\text{ctg}\beta +\mu }\le s\le \frac{a}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{\text{ctg}\beta -\mu }}\end{array}$ (8a) ha $\text{ctg}\beta >\mu$, illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{\text{ctg}\beta +\mu }\le s<+\infty \mathrm{,}}\end{array}$ (8b) ha $\text{ctg}\beta <\mu$. Tehát a rúd (8a), ill. (8b) feltételnek eleget tevő pontjai terhelhetők.    Bognár Ágnes (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)   II. megoldás. Rajzoljuk be az erők hatásvonalát az ábrába (2. ábra)! A $K$ kötélerő hatásvonala a kötél $k$ egyenese, az $F$ erőé pedig az $f$ függőleges egyenes. Az $N$ és $S$ eredőjének az $e$ hatásvonala valahova a $2\delta$ nyílású szögtartományba esik, ahol $\text{tg}\delta =\mu \mathrm{,}\left(|S|\le \mu N\right)$. Egyensúly esetén a három hatásvonal egy pontban kell, hogy metssze egymást. Ez csak akkor lehet, ha $f$ a $k$-t a $\overline{DE}$ szakaszon belül metszi. Belátható, hogy ez a feltétel egyúttal elegendő is az egyensúlyhoz. Ennek megfelelően a rúd $G$ és $H$ közé eső pontjai terhelhetőek függőleges erővel.     2. ábra   Az ábra alapján $G$ és $H$ $A$-tól való távolsága kiszámítható: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \overline{AG}=\frac{\text{sin}\left({90}^{\circ }+\delta \right)}{\text{sin}\alpha }\cdot \overline{AD}=\frac{\text{sin}\left({90}^{\circ }+\delta \right)}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{\text{sin}\beta }{\text{sin}\left({90}^{\circ }+\delta -\beta \right)}a=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{a}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{\text{ctg}\beta +\text{tg}\delta }=\frac{a}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{\text{ctg}\beta +\mu }\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>9</mn>)}\end{array}}$ Hasonlóan $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{AH}=\frac{a}{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{\text{ctg}\beta -\mu }\mathrm{,}}\end{array}$ (10) feltéve, hogy $E$ létezik, azaz ${90}^{\circ }-\delta >\beta$ (különben minden $G$-nél távolabbi pont terhelhető).    Jilling Ferenc (Baja, III. Béla Gimn., II. o. t.)