Feladat:	1550. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pekó Éva
Füzet:	1979/november, 180 - 181. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: 1550. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A $m$ tömegű testre az $S$ súrlódási erő ($S$-et felfelé tekintjük pozitívnak), a $mg$ nagyságú nehézségi erő és az $N$ nagyságú nyomóerő hat (l. az ábrát).     Írjuk fel a dinamikai alapegyenleteket a vízszintes és függőleges komponensekre: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle ma}& {\displaystyle =N\text{sin}\alpha -S\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =N\text{cos}\alpha +S\text{sin}\alpha -mg}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ ($a$ a testek közös gyorsulása). A súrlódási erőre fennáll még, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle |S|\le \mu N\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle -\mu N\le S\le \mu N\mathrm{.}}\end{array}$ (3) (1) és (2)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle a=g\frac{N\text{sin}\alpha -S\text{cos}\alpha }{N\text{cos}\alpha +S\text{sin}\alpha }=g\frac{N\text{tg}\alpha -S}{N+S\text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (4) A (3) egyenlőtlenség felhasználásával, feltéve, hogy $\mu \text{tg}\alpha <1$: $\begin{array}{c}{\displaystyle g\frac{\text{tg}\alpha +\mu }{1-\mu \text{tg}\alpha }\ge a\ge g\frac{\text{tg}\alpha -\mu }{1+\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A számadatokkal: $\begin{array}{c}{\displaystyle 8\mathrm{,}8{\text{m/s}}^2\ge a\ge 3\mathrm{,}3{\text{m/s}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A még fel nem írt két mozgásegyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-K;\left(M+m\right)a=K\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle m_1=\frac{\left(M+m\right)a}{g-a}\mathrm{.}}\end{array}$ (7) (7)-be helyettesítve a $\begin{array}{c}{\displaystyle 27\text{kg}\le m_1\le 403\text{kg}}\end{array}$ szükséges feltétel adódik. A fentiek alapján az is belátható, hogy ez a feltétel elegendő is ahhoz, hogy a $m$ tömegű test ne mozduljon el.    Pekó Éva (Tata, Eötvös J. Gimn., II. o. t.)   Megjegyzés. Hasznos lett volna, ha a versenyzők diszkutálják a (4) és (7) eredményeket. Látható, hogy (5) jobb oldala negatív, ha $\mu >\text{tg}\alpha$. $\mu =\text{tg}\alpha$-nál nyugalomban levő lejtőn sem csúszik meg a test, $\mu >\text{tg}\alpha$-nál pedig negatív, azaz ellenkező irányba mutató gyorsulást is megengedhetünk. Ekkor (7)-ből $m_1$-re negatív érték adódna, ami ,,tolóerőnek'' felelne meg, de kötél esetében ennek nincs értelme, tehát az $m_1\ge 0$ feltételt jelenti. Ha $\mu \text{tg}\alpha \ge 1$, akkor (3), (4) alapján világos, hogy akármilyen nagy $a$ gyorsulással mozog a lejtő, az $m$ tömegű test nem csúszik meg. Ha az $a$-ra kapott felső határ nagyobb, mint $g$, akkor (7) szerint $a\to g$ esetén az $m_1$ határértéke $\infty$, vagyis az $m_1<\infty$ feltételt nyerjük, ami érthető, hiszen $g$-nél nagyobb gyorsulással $m_1$ nem tudja a lejtőt gyorsítani.