Feladat:	1549. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bocsák András ,  Bognár Péter ,  Czakó Ferenc ,  Gunyhó Gábor ,  Gyurós Tibor ,  Kiss Ernő ,  Kiss Péter ,  Ódor Tibor ,  Seregdy Tamás ,  Terenyi Zoltán ,  Várhelyi Tamás
Füzet:	1979/november, 179 - 180. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Hidrosztatikai nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: 1549. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Először határozzuk meg a kúpra ható felhajtóerőt $x$ magasságú vízszint esetén! A vízbe merülő rész ekkor $\left(R/h\right)\left[\left(r/R\right)h+x\right]$, illetve $r$ alapkör sugarakkal rendelkező $x$ magasságú csonkakúp. Ha ezt a testet alulról is víz venné körül, akkor a felhajtóerő az általa kiszorított víz súlyával lenne egyenlő. Esetünkben azonban nem érvényes az Archimédesz-törvény, mert a $r$ sugarú lap nem érintkezik vízzel. A felhajtóerőt ezért úgy kapjuk, hogy a csonkakúp által kiszorított víz súlyából levonjuk a $r$ sugarú, $x$ magasságú henger alapjára ható hidrosztatikai nyomóerőt: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_f=\left(\pi /3\right)\left\{\left(R^2/h^2\right){\left[\left(h/R\right)r+x\right]}^3-\left(r^{3}h\right)R-3r^{2}x\right\}{\gamma }_v=\pi {\gamma }_v\left[\left(Rr/h\right)x^2+\left(1/3\right)\left(R^2/h^2\right)x^3\right]\mathrm{.}}\end{array}$ A kúp akkor fog elmozdulni, amikor a felhajtóerő nagyobb lesz a kúp súlyánál, tehát határesetben $\begin{array}{c}{\displaystyle \pi \gamma \left[\left(Rr/h\right)x^2+\left(1/3\right)\left(R^2/h^2\right)x^3\right]=\left(1/3\right)\pi R^{2}h\gamma \mathrm{.}}\end{array}$ A numerikus adatokat behelyettesítve átrendezés után $x$-re az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+20\text{cm}{x}^2=3200{\text{cm}}^3}\end{array}$ harmadfokú egyenlet adódik, amelynek fizikai szempontból értelmes megoldása $x=10\mathrm{,}28\text{cm}$. Ha ezen szint elérése után a víz betöltését tovább folytatjuk, akkor a kúp fölemelkedik, de a víz kifolyása miatt újból a helyére kerül, s ez a folyamat többször is megismétlődhet. Bizonyos kritikus beöntési sebesség elérése után azonban a kúp már nem kerül vissza a lyukba.   Megjegyzés. A felhajtóerő természetesen kiszámítható úgy is ‐ Pascal törvényét használva ‐, hogy a csonkakúp palástjára ható nyomóerőt határozzuk meg. Ezt célszerű úgy elvégezni, hogy a palástot vékony gyűrűkre osztjuk, s először egy-egy gyűrűre számoljuk ki a függőleges irányú felhajtóerőt, majd összeadjuk az egyes gyűrűk hatását. A felosztást finomítva a felhajtóerő pontos értékét integrálással nyerjük. Aki egyszerűen átlagos nyomással számolt, nem kapta meg a helyes eredményt.