Kezdőlap


Feladat:	1545. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Gyula , Benkő Zsigmond , Csordás András , Gulyás Andor , Kaufmann Zoltán , Madi Tibor , Márk Géza , Rozenberszki Csaba , Szalontai Zoltán , Trócsányi Zoltán
Füzet:	1979/november, 175 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Rugalmas erő, Harmonikus rezgőmozgás, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: 1545. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Amikor a rugót húzni kezdjük, a test mindaddig nyugalomban marad, amíg a rugóerő el nem éri a tapadási súrlódási erő maximumát. A test megmozdulásának pillanatában a rugó $x_{0}$ megnyúlására

\begin{matrix} k x_{0} = μ_{0} m g, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{0} = \frac{μ_{0} m g}{k} \approx 0, 12 m . \end{matrix}

(1)

A megmozdulásig eltelt idő

\begin{matrix} t_{0} = \frac{x_{0}}{v_{0}} = \frac{μ_{0} m g}{k v_{0}} \approx 0, 6 s . \end{matrix}

1. ábra

2. A mozgás következő szakaszát vizsgáljuk a rugóval együtt

v_{0}

sebességgel mozgó koordináta-rendszerben. A koordináta-rendszer origóját válasszuk úgy meg, hogy az origóban levő testre ható rugóerő éppen egyensúlyt tartson a csúszási súrlódási erővel (1. ábra). A rugó megnyúlása ekkor

\begin{matrix} x_{1} = \frac{μ m g}{k} \approx 0, 08 m . \end{matrix}

(2)

Ebben a koordináta-rendszerben a test harmonikus rezgőmozgást végez. Legyen ugyanis a test kitérése

z

. (Akkor tekintjük pozitívnak, ha a test a rugó húzásának irányában mozdul ki.) Ekkor a rugó megnyúlása

x_{1} - z

, így a rugóerő és a súrlódási erő eredője

\begin{matrix} F = (x_{1} - z) k - μ m g = - z k . \end{matrix}

Szükségünk lesz a rugóval együtt mozgó és a tömeg kezdeti helyzetéhez rögzített koordináta-rendszer közötti áttérés összefüggéseire:

\begin{matrix} y = z + v_{0} t - x_{1}, & (3) \\ w = v + v_{0}, & (4) \end{matrix}

ahol

y

és

w

az álló,

z

és

v

a mozgó rendszerre vonatkozik, a gyorsulás nyilvánvalóan azonos a két rendszerben, és az időt a rugó megmozdításának pillanatától számítjuk.
A mozgó koordináta-rendszerben a test harmonikus rezgőmozgást végez, amelynek körfrekvenciája:

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{k / m} \approx 5 s^{- 1} . \end{matrix}

(5)

A rezgés kitérése és sebessége

\begin{matrix} z = A sin [ω (t - t_{0}) + φ], & (6a) \\ v = A ω cos [ω (t - t_{0}) + φ] . & (6b) \end{matrix}

A rezgés amplitúdóját és fázisát a kezdeti feltételek határozzák meg. A megcsúszás pillanatában

t = t_{0}

, a kitérés (3) felhasználásával

\begin{matrix} z = A sin φ = x_{1} - v_{0} t = x_{1} - x_{0} = - (μ_{0} - μ) (m g / k) \approx - 0, 04 m, \end{matrix}

(7)

a sebesség (4)-ből

\begin{matrix} v = A ω cos φ = - v_{0} = - 0, 2 m/s . \end{matrix}

(8)

(7) és (8) alapján

\begin{matrix} A^{2} = z^{2} + \frac{v^{2}}{ω^{2}} = {(μ_{0} - μ)}^{2} \frac{m^{2} g^{2}}{k^{2}} + \frac{v_{0}^{2} m}{k}, \end{matrix}

(9)

A fázisszögre a következőt kapjuk:

\begin{matrix} sin φ = \frac{z}{A} \approx - \frac{1}{\sqrt[]{2}}, \\ cos φ = \frac{v}{A ω} \approx - \frac{1}{\sqrt[]{2}}, \end{matrix}

tehát

φ

a harmadik szögnegyedbe esik,

φ \approx \frac{5 π}{4}

A mozgást a nyugvó koordináta-rendszerben leíró egyenletek (3) és (4) felhasználásával

\begin{matrix} y \approx \sqrt[]{2} \cdot 0, 04 m \cdot sin [5 \frac{1}{s} (t - 0, 6 s) + \frac{5 π}{4}] + 0, 2 (m/s) \cdot t - 0, 08 m, & (11a) \\ w \approx \sqrt[]{2} \cdot 0, 2 m/s \cdot cos [5 \frac{1}{8} (t - 0, 6 s) + \frac{5 π}{4}] + 0, 2 m/s, & (11b) \\ a \approx - \sqrt[]{2} {m/s}^{2} \cdot sin [5 \frac{1}{s} (t - 0, 6 s) + \frac{5 π}{4}] . & (11c) \end{matrix}

Ezek az összefüggések csak addig érvényesek, amíg a test mozog, azaz

w > 0

w = 0

esetén a test megáll, és addig marad nyugalomban, amíg a rugóerő ismét el nem éri a tapadási súrlódási erő maximális értékét. (11b) alapján a

w = 0

egyenlőség akkor következik be, amikor

\begin{matrix} cos [5 \frac{1}{s} (t_{1} - 0, 6 s) + \frac{5 π}{4}] = - \frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

(12)

Ez az

5 π / 4

fázisszög után legközelebb akkor valósul meg, amikor

\begin{matrix} 5 s^{- 1} (t_{1} - 0, 6 s) + 5 π / 4 = 2 π + (3 π / 4), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t_{1} - 0, 6 s \approx 1 s, t_{1} \approx 1, 6 s . \end{matrix}

(13)

3. A megállás pillanatában (7) alapján a test a mozgó koordináta-rendszer

\begin{matrix} z = (μ_{0} - μ) (m g / k) \approx 0, 04 m \end{matrix}

koordinátájú helyén van. A test egészen addig nem mozdul meg, amíg

z \approx - 0, 04 m

nem lesz, tehát a rugó végét

\begin{matrix} 2 (μ_{0} - μ) (m g / k) \approx 0, 08 m -rel \end{matrix}

nem húzzuk tovább. Az ehhez szükséges időtartam

\begin{matrix} t_{2} - t_{1} = 2 (μ_{0} - μ) m g / (k v_{0}) \approx 0, 4 s, \end{matrix}

(14)

tehát az újabb megindulás időpontja

\begin{matrix} t_{2} \approx 2 s . \end{matrix}

Ezután a mozgás a 2. és 3. szakasz periodikus ismétlődésével folytatódik tovább, a periódusidő

1, 4 s

. A test helyét, sebességét és gyorsulását a számítások alapján a 2. ábrán mutatjuk be.

2. ábra

Madi Tibor (Kecskemét, Katona J. Gimn., III. o. t.)