Kezdőlap


Feladat:	1544. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajnóczi Ferenc , Bene Gyula , Bohnest András , Borbély Gábor , Gonda László , Kávássy Lóránd , Kovács Zoltán , Polacsek Lajos
Füzet:	1979/november, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Barometrikus magasságformula, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: 1544. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1978. szeptemberi számban taglalt barometrikus magasságformulából a Boyle ‐ Mariotte törvény $[(p / p_{0}) = (ϱ / ϱ_{0})]$ felhasználásával közvetlenül kaphatunk analitikus összefüggést a $h$ magasságban mérhető levegő sűrűségére:

\begin{matrix} ϱ = ϱ_{0} \cdot e^{- \frac{ϱ_{0} g}{p_{0}} h}, \end{matrix}

(1)

ahol a nulla index a Föld felszínén mért értékeket jelzi. Mivel a légkör sűrűsége növekvő magassággal exponenciálisan csökken, ezért a teljes tömeg meghatározásához célszerű a légkört a Föld középpontja körüli gömbhéjakra felosztani. A gömbhéjak

Δ h

vastagságát olyan kicsire kell megválasztani, hogy benne a levegő sűrűségét már állandónak tekinthessük. Ekkor a gömbhéjat egy

4 π {(R + h)}^{2}

alapterületű és

Δ h

magasságú hasábként kezelhetjük, így térfogata

Δ V = 4 π {(R + h)}^{2} Δ h

lesz (

R

a Föld sugarát jelenti). A benne levő légtömeg

Δ m = ϱ Δ V

, a légkör teljes tömege pedig

m = Σ Δ m

, ahol az összegzést olyan magasságig érdemes elvégezni, ahol a

ϱ / ϱ_{0}

, érték már elég kicsivé válik. Az (1) egyenlet alapján könnyen kiszámítható, hogy

36 km

magasságban a levegő sűrűsége

1 %

-a, míg

54 km

magasságban már csak

1^{\circ} /_{\circ \circ}

-e a felszínen mért értéknek.
A

Δ m

részletösszegek kiszámítása és összeadása eléggé fáradságos folyamat:

Δ h

-t

500 m

-nek, a légkör felső határát pedig

54 km

-nek választva

108

részlettömeget kellene kiszámítanunk. A feladat azonban a megkívánt pontossággal analitikusan is megoldható. Jelölje

H

a légkör felső határának magasságát. Ekkor a fenti összeg határértéke, ha a

H

magasság felosztását minden határon túl finomítjuk, a következő integrál:

\begin{matrix} m = \int_{0}^{H} ϱ_{0} e^{- \frac{ϱ_{0} g}{p_{0}} h} \cdot 4 π {(R + h)}^{2} d h . \end{matrix}

(2)

H

magasság a Föld sugarához képest kicsiny érték (

R = 6400 km

). Így a

g

gravitációs gyorsulás állandónak tekinthető a légkör különböző magasságaiban. Ezzel az egyszerűsítéssel élve a (2) egyenletben szereplő integrál könnyen kiszámítható

(a = \frac{ϱ_{0} g}{p_{0}} állandó)

\begin{matrix} m = - \frac{4 π p_{0}}{g} {[{{(h + R)}^{2} + \frac{2}{a} (\frac{1}{a} + h + R)} e^{- a h}]}_{0}^{H}, \end{matrix}

ami a fentebb tárgyalt nagyságrendi viszonyokat figyelembe véve közelítőleg így számolható:

\begin{matrix} m = \frac{4 π R^{2} p_{0}}{g} . \end{matrix}

(3)

Ez az összefüggés különben közvetlenül adódik abból a megfontolásból, hogy a Föld felszínéhez igen közel elhelyezkedő légkör

m

g súlya a

4 π R^{2}

nagyságú Földfelszínen

p_{0}

nyomást hoz létre. Ez a meggondolás nem is használja ki a légkör sűrűségének csökkenésére (1) alatt felírt explicit összefüggést, csupán azt, hogy

g

nem változik számottevően a légkör felső határáig.
Numerikusan:

m = 5 \cdot 10^{18} kg

Kovács Zoltán (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján