Feladat:	1538. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boller Csaba ,  Fábián László ,  Gonda László ,  Haris Ottó ,  Kovács Zoltán ,  Márk Géza ,  Maróti Péter ,  Szabó László ,  Szeles András ,  Tokaji Zsolt
Füzet:	1979/szeptember, 40 - 43. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb változó áram, Függvények grafikus elemzése, Határozatlan integrál, Kirchhoff II. törvénye (huroktörvény), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: 1538. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.       1. ábra   Foglalkozzunk először a ködfénylámpa áramerősség ‐ feszültség karakterisztikájával (1. ábra)! Az $U_0$ bekapcsolási feszültségig növelve a ködfénylámpa feszültségét, rajta nagyon kis áram folyik, a glimmlámpa nem világít ($OA$ szakasz). Amikor a feszültség eléri az $U_0$ értéket, a lámpa begyújt, a feszültsége nagyon rövid idő alatt $U_1$-re csökken ($AB$ szakasz). A fénycsövön áthaladó maximális áramerősséget. $\left(i_{\text{max}}\right)$ a vele sorba kötött $R_2$ ellenállással lehet korlátozni. A begyújtott lámpán az áramerősségtől gyakorlatilag függetlenül $U_1$ feszültség esik, ezért ebben a tartományban feszültségstabilizálásra is fel lehet használni ($BC$ szakasz). Ha az áramerősség egy küszöbérték $\left(i_{\text{min}}\right)$ alá csökken, akkor a lámpa azonnal kialszik, az áramerősség gyakorlatilag nullára zuhan ($CD$ szakasz).     2. ábra   Nézzük ezután a konkrét kapcsolást (2. ábra)! A kapcsoló bekapcsolása után a telep kezdi feltölteni a $C$ kondenzátort az $R_1$ ellenálláson keresztül. Egészen addig, amíg a kondenzátor feszültsége el nem éri a lámpa gyújtási feszültségét $\left(U_C<U_0\right)$, a fénycsövön gyakorlatilag nem folyik áram (lásd az $OA$ szakaszt az 1. ábrán), ezért a $C$ kondenzátort az $i_1$ áram fogja tölteni $\left(i_2=0\right)$. A kondenzátor feszültségének megváltozása $\Delta t$ idő alatt $\Delta U_C=\frac{i_1\cdot \Delta t}{C}$, ebből $\Delta t\to 0$ határátmenettel adódik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}{U}_C}{\text{d}t}=\frac{i_1}{C}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Írjuk fel a bal oldali hurokra Kirchhoff II. törvényét: $\begin{array}{c}{\displaystyle U-U_C=R_1{i}_1\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Fejezzük ki (1)-ből $i_1$-et, és írjuk (2)-be. Rendezés után egy elsőrendű differenciálegyenletet nyerünk $U_C$-re (ill. $U-U_C$-re): $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(U-U_C\right)=\frac{1}{{\tau }_1}\left(U-U_C\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\tau }_1$ a feltöltési szakasz időállandója: ${\tau }_1=R_{1}C$. Ennek a kezdeti feltételt ($t=0$-kor $U_C=0$) kiegészítő megoldása $\begin{array}{c}{\displaystyle U_C=U\left(1-e^{-t/{\tau }_1}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Ugyanis vezessük be az $U-U_C=V$ jelölést, ekkor a differenciálegyenlet alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{d}V/\text{d}t+\left(1/{\tau }_1\right)V=\mathrm{0,}\text{ezért}\text{d}\left(V{e}^{t/{\tau }_1}\right)\text{d}t=0.}\end{array}$ Ebből a differenciálszámítás ismert tétele szerint következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle V{e}^{t/{\tau }_1}=K\left(\text{állandó}\right)\mathrm{,}V=K{e}^{-t/{\tau }_1}\mathrm{.}}\end{array}$ A $V\left(0\right)=U$ kezdeti feltétel folytán $K=U$. A kondenzátor feszültsége az $U_0$ gyújtási feszültséget $t_{OA}$ idő alatt éri el, amelyet (3) alapján számolhatunk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{OA}={\tau }_1\cdot \text{ln}\frac{U}{U-U_0}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Numerikusan: ${\tau }_1=600\text{s}$, $t_{OA}=\mathrm{63,2}\text{s}$. Ha $x<-\mathrm{0,1}$, akkor $e^{-x}$ $\mathrm{0,5}\%$-os hibán belül $\left(1-x\right)$-szel helyettesíthető. Mivel esetünkben $\left(t_{OA}/{\tau }_1\right)\approx \mathrm{0,1}$, ezért a feltöltési szakaszban a kondenzátor feszültsége gyakorlatilag lineárisan növekszik: $U_C=\left(U/{\tau }_1\right)\cdot t$, az $i_1$ töltőáram, amelynek kezdeti értéke $U/R_1=100\mu \text{A}$, elég lassan csökken a végső $\frac{U-U_0}{R_1}=90\mu \text{A}$ értékre. Mivel a fénycsövön kikapcsolt állapotban csak nagyon kis áram folyik, ezért a ráeső feszültség a kondenzátor feszültségével egyezik meg (4. ábra, $OA$ szakasz). Begyújtott állapotban a lámpán $i_2$ áram halad át, s a lámpa mindaddig égve marad, míg ez $i_{\text{min}}$ alá nem csökken. Rajta időben állandó $U_1$ feszültség mérhető. Keressük az $i_2$ áram időfüggését. Írjuk fel Kirchhoff II. törvényét a jobb oldali hurokra is: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_C-U_1=R_2{i}_2\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A kondenzátort az $i_1$ áram tölti, az $i_2$ pedig kisüti. Az (1) egyenlet általánosításával $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}{U}_C}{\text{d}t}=\frac{i_1-i_2}{C}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Differenciáljuk (2)-t és (5)-öt az idő szerint, és helyettesítsük be (6)-ot: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\tau }_1\left(\text{d}{i}_1/\text{d}t\right)+i_1-i_2=\mathrm{0,}\left(7\right){\tau }_2\left(\text{d}{i}_2/\text{d}t\right)-i_1+i_2=\mathrm{0,}\left(8\right)}\end{array}$ ahol ${\tau }_2=R_{2}C$. Ennek a lineáris, elsőrendű differenciálegyenletrendszernek minden megoldása ilyen alakú: $\begin{array}{c}{\displaystyle i_1=-A_1\left({\tau }_2/{\tau }_1\right)e^{-t/\tau }+A_2\mathrm{,}\left(9\right)i_2=A_1{e}^{-t/\tau }+A_2\mathrm{,}\left(10\right)}\end{array}$ ahol a $\tau$ közös időállandó reciproka az egyes körök időállandói reciprokának összege, továbbá $A_1$, $A_2$ állandók. Ugyanis a (7), (8) egyenleteket összeadva nyerjük, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\tau }_1{i}_1+{\tau }_2{i}_2\right)=\mathrm{0,}\text{ezért}{\tau }_1{i}_1+{\tau }_2{i}_2=C_1\text{(állandó)}\mathrm{.}}\end{array}$ (11) Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle i_1=\left(C_1/{\tau }_1\right)-\left({\tau }_2/{\tau }_1\right)i_2\mathrm{,}}\end{array}$ ezt a (8) egyenletbe helyettesítve, ${\tau }_2$-vel való osztás után a következő differenciálegyenlet adódik az $i_2$ ismeretlen függvényre: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}{i}_2}{\text{d}t}+\frac{1}{\tau }{i}_2=\frac{C_1}{{\tau }_1{\tau }_2}\mathrm{.}}\end{array}$ A $C_1/\left({\tau }_1{\tau }_2\right)$ állandót jelöljük $C_2$-vel, így a kapott egyenlet így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(i_2-C_2\tau \right)+\frac{1}{\tau }\left(i_2-C_2\tau \right)=0.}\end{array}$ Ebből a korábbiakhoz hasonlóan: $\begin{array}{c}{\displaystyle i_2-C_2\tau =A_1{e}^{-t/\tau }\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $A_1$ tetszőleges állandó. Eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle i_2=A_1{e}^{-t/\tau }+C_2\tau \mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $A_2=C_2\tau$ jelöléssel megkaptuk a (10) előállítást. (11) alapján könnyen adódik a (9) formula. Egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy bármely $A_1$, $A_2$ állandó esetében a (9), (10) alatti $i_1$, $i_2$ függvények kielégítik a (7), (8) differenciálegyenlet-rendszert. Kezdetben $i_1=\frac{U-U_0}{R_1}$ és $i_2=\frac{U_0-U_1}{R_2}$, amelyekkel az $A_1$ és $A_2$ állandók kifejezhetők: $\begin{array}{c}{\displaystyle A_1=\frac{\tau }{{\tau }_2}\left(\frac{U_0-U_1}{R_2}-\frac{U-U_0}{R_1}\right)\mathrm{,}{A}_2=\frac{U_0-U_1}{R_2}-A_1\mathrm{.}}\end{array}$     3. ábra   Egyszerű számolással belátható, hogy $A_2>0$ minden szóba jöhető paraméter értékekre. Így csak két eset fordulhat elő $i_2$ időfüggésének taglalásakor: 1. $A_1>0$, vagyis $\frac{R_1}{R_2}>\frac{U-U_0}{U_0-U_1}$. Ekkor a kezdeti kisütő áram nagyobb, mint a töltőáram, és így $i_2$ exponenciálisan csökken a $\tau$ időállandóval (3a ábra). 1. a) Ha $A_2>i_{\text{min}}$, akkor a lámpa nem kapcsol ki, feszültsége végig $U_1$ marad (4a ábra). 1. b) Ha $A_2<i_{\text{min}}$, akkor $t_{BC}=\tau \text{ln}\frac{A_1}{i_{\text{min}}-A_2}$ idő elteltével $i_2$ az $i_{\text{min}}$ alá csökken, és a fénycső kialszik. Újra kell tölteni a kondenzátort $U_C=U_1+U_2{i}_{\text{min}}$ feszültségről kiindulva az $U_0$ gyújtási feszültségig ($CD$ szakasz). A feltöltéshez szükséges $t_{CD}$ idő (3) alapján határozható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{CD}={\tau }_1\text{ln}\frac{U-U_1-R_2{i}_{\text{min}}}{U-U_0}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezután a folyamat $A$-tól kezdve megismétlődik $T=t_{BC}+t_{CD}$ periódusidővel (4b ábra).     4. ábra   2. $A_1<0$, azaz $\frac{R_1}{R_2}<\frac{U-U_0}{U_0-U_1}$ A kisütő áram kicsi a töltőáramhoz képest, $i_2$ exponenciálisan növekszik $A_2$ értékig (3b ábra), a glimmlámpa nem fog kikapcsolni, feszültségének időfüggvényét a 4a ábra mutatja. A rendelkezésre álló numerikus értékek behelyettesítése után $A_1>0$, azaz az 1. esettel állunk szemben. $A_1=241\mu \text{A}$, $A_2=93\mu \text{A}$ és $\tau =\mathrm{5,94}\text{s}$. Sajnos a fénycsőre jellemző $i_{\text{min}}$ áramerősséget a feladat szövege nem tartalmazza. Mindenesetre kijelenthetjük, hogy ha $i_{\text{min}}>93\mu \text{A}$, de természetesen kisebb, mint $A_1+A_2=334\mu \text{A}$, akkor periodikus feszültségváltozás mérhető a glimmlámpa sarkain. Legyen $i_{\text{min}}=200\mu \text{A}$! Ekkor $t_{BC}=\mathrm{4,821}\text{s}$ és $t_{CD}=\mathrm{8,821}\text{s}$, azaz a periódusidő $T=\mathrm{13,6}\text{s}$.   Maróti Péter