|
Feladat: |
1538. fizika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Boller Csaba , Fábián László , Gonda László , Haris Ottó , Kovács Zoltán , Márk Géza , Maróti Péter , Szabó László , Szeles András , Tokaji Zsolt |
Füzet: |
1979/szeptember,
40 - 43. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyéb változó áram, Függvények grafikus elemzése, Határozatlan integrál, Kirchhoff II. törvénye (huroktörvény), Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1978/november: 1538. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.
1. ábra
Foglalkozzunk először a ködfénylámpa áramerősség ‐ feszültség karakterisztikájával (1. ábra)! Az bekapcsolási feszültségig növelve a ködfénylámpa feszültségét, rajta nagyon kis áram folyik, a glimmlámpa nem világít ( szakasz). Amikor a feszültség eléri az értéket, a lámpa begyújt, a feszültsége nagyon rövid idő alatt -re csökken ( szakasz). A fénycsövön áthaladó maximális áramerősséget. a vele sorba kötött ellenállással lehet korlátozni. A begyújtott lámpán az áramerősségtől gyakorlatilag függetlenül feszültség esik, ezért ebben a tartományban feszültségstabilizálásra is fel lehet használni ( szakasz). Ha az áramerősség egy küszöbérték alá csökken, akkor a lámpa azonnal kialszik, az áramerősség gyakorlatilag nullára zuhan ( szakasz).
2. ábra
Nézzük ezután a konkrét kapcsolást (2. ábra)! A kapcsoló bekapcsolása után a telep kezdi feltölteni a kondenzátort az ellenálláson keresztül. Egészen addig, amíg a kondenzátor feszültsége el nem éri a lámpa gyújtási feszültségét , a fénycsövön gyakorlatilag nem folyik áram (lásd az szakaszt az 1. ábrán), ezért a kondenzátort az áram fogja tölteni . A kondenzátor feszültségének megváltozása idő alatt , ebből határátmenettel adódik, hogy Írjuk fel a bal oldali hurokra Kirchhoff II. törvényét: Fejezzük ki (1)-ből -et, és írjuk (2)-be. Rendezés után egy elsőrendű differenciálegyenletet nyerünk -re (ill. -re): ahol a feltöltési szakasz időállandója: . Ennek a kezdeti feltételt (-kor ) kiegészítő megoldása Ugyanis vezessük be az jelölést, ekkor a differenciálegyenlet alapján | | Ebből a differenciálszámítás ismert tétele szerint következik, hogy | | A kezdeti feltétel folytán . A kondenzátor feszültsége az gyújtási feszültséget idő alatt éri el, amelyet (3) alapján számolhatunk ki: Numerikusan: , . Ha , akkor -os hibán belül -szel helyettesíthető. Mivel esetünkben , ezért a feltöltési szakaszban a kondenzátor feszültsége gyakorlatilag lineárisan növekszik: , az töltőáram, amelynek kezdeti értéke , elég lassan csökken a végső értékre. Mivel a fénycsövön kikapcsolt állapotban csak nagyon kis áram folyik, ezért a ráeső feszültség a kondenzátor feszültségével egyezik meg (4. ábra, szakasz). Begyújtott állapotban a lámpán áram halad át, s a lámpa mindaddig égve marad, míg ez alá nem csökken. Rajta időben állandó feszültség mérhető. Keressük az áram időfüggését. Írjuk fel Kirchhoff II. törvényét a jobb oldali hurokra is: A kondenzátort az áram tölti, az pedig kisüti. Az (1) egyenlet általánosításával Differenciáljuk (2)-t és (5)-öt az idő szerint, és helyettesítsük be (6)-ot: | | ahol . Ennek a lineáris, elsőrendű differenciálegyenletrendszernek minden megoldása ilyen alakú: | | ahol a közös időállandó reciproka az egyes körök időállandói reciprokának összege, továbbá , állandók. Ugyanis a (7), (8) egyenleteket összeadva nyerjük, hogy | | (11) | Innen ezt a (8) egyenletbe helyettesítve, -vel való osztás után a következő differenciálegyenlet adódik az ismeretlen függvényre: A állandót jelöljük -vel, így a kapott egyenlet így is írható: | |
Ebből a korábbiakhoz hasonlóan: ahol tetszőleges állandó. Eszerint vagyis jelöléssel megkaptuk a (10) előállítást. (11) alapján könnyen adódik a (9) formula. Egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy bármely , állandó esetében a (9), (10) alatti , függvények kielégítik a (7), (8) differenciálegyenlet-rendszert. Kezdetben és , amelyekkel az és állandók kifejezhetők: | |
3. ábra
Egyszerű számolással belátható, hogy minden szóba jöhető paraméter értékekre. Így csak két eset fordulhat elő időfüggésének taglalásakor: 1. , vagyis . Ekkor a kezdeti kisütő áram nagyobb, mint a töltőáram, és így exponenciálisan csökken a időállandóval (3a ábra). 1. a) Ha , akkor a lámpa nem kapcsol ki, feszültsége végig marad (4a ábra). 1. b) Ha , akkor idő elteltével az alá csökken, és a fénycső kialszik. Újra kell tölteni a kondenzátort feszültségről kiindulva az gyújtási feszültségig ( szakasz). A feltöltéshez szükséges idő (3) alapján határozható meg:
Ezután a folyamat -tól kezdve megismétlődik periódusidővel (4b ábra).
4. ábra
2. , azaz A kisütő áram kicsi a töltőáramhoz képest, exponenciálisan növekszik értékig (3b ábra), a glimmlámpa nem fog kikapcsolni, feszültségének időfüggvényét a 4a ábra mutatja. A rendelkezésre álló numerikus értékek behelyettesítése után , azaz az 1. esettel állunk szemben. , és . Sajnos a fénycsőre jellemző áramerősséget a feladat szövege nem tartalmazza. Mindenesetre kijelenthetjük, hogy ha , de természetesen kisebb, mint , akkor periodikus feszültségváltozás mérhető a glimmlámpa sarkain. Legyen ! Ekkor és , azaz a periódusidő . Maróti Péter
|
|