Kezdőlap


Feladat:	1537. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Ferenc
Füzet:	1979/október, 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb elektromos mező, Pontszerű töltés térerőssége, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: 1537. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körvezetőt osszuk fel $n$ egyenlő részre $(n ≫ 1)$ . Ha az össztöltés $Q$ , akkor egy kis szakaszon $Q / n$ töltés helyezkedik fel. Ez a tengelyen, a kör síkjától $x$ távolságra $E_{n}$ térerősséget hoz létre (l. az ábrát), amelynek nagysága

\begin{matrix} E_{n} = \frac{(Q / n)}{R^{2} + x^{2}} . \end{matrix}

Ennek a térerősségnek csak a tengelyirányú vetülete érdekes, mert a tengelyre merőleges komponensek összege szimmetria okok miatt nulla, így az eredő térerősség tengelyirányú. Mivel mindegyik kis töltés azonos nagyságú tengelyirányú térerősséget hoz létre, az eredő térerősség nagysága:

\begin{matrix} E = n \cdot \frac{| x |}{\sqrt[]{R^{2} + x^{2}}} E_{n} = Q \frac{| x |}{{(R^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

E

mint az

x

függvénye páros függvény, vizsgáljuk pl. a

(0, \infty)

intervallumon

x > 0

esetén:

\begin{matrix} E = Q \cdot \frac{x}{{(R^{2} + x^{2})}^{2 / 3}}, így \frac{d E}{d x} = Q \frac{R^{2} - 2 x^{2}}{{(R^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

A (0,

\infty

) intervallumon ott lehet maximum, ahol

\frac{d E}{d x} = 0

, azaz az

\begin{matrix} x_{0} = R \sqrt[]{2} \end{matrix}

helyen. Mivel a (0,

R \sqrt[]{2})

szakaszon

\frac{d E}{d x} > 0

, tehát

E

szigorúan nő és az

(R \sqrt[]{2}, \infty)

szakaszon

\frac{d E}{d x} < 0

, tehát

E

szigorúan csökken; a (0,

\infty

) intervallumban a függvény legnagyobb értékét valóban felveszi az

x_{0} = R \sqrt[]{2}

helyen.
Mivel

E

páros, a

- x_{0} = - R \sqrt[]{2}

helyen

E

az előbbivel megegyező maximális értéket vesz fel, mindenütt másutt ennél kisebb.

Farkas Ferenc (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)