Kezdőlap


Feladat:	1536. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Liszkay László , Márk Géza
Füzet:	1979/május, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rakéta, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: 1536. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A rakéta mozgásegyenlete:

\begin{matrix} (m_{0} - k t) a = F_{t} - F k - G, \end{matrix}

(1)

ahol

m_{0}

a kezdeti tömeg,

k

a másodpercenkénti tömegcsökkenés,

F_{t}

a tolóerő,

F_{k}

a közegellenállási erő,

G

pedig a súlyerő. Tegyük fel, hogy

F_{k} \approx 0

, és hogy

G

nem függ a helytől. Nyilvánvaló, hogy a rakéta gyorsulása időben változik, tehát az állandó gyorsulás esetén kapott összefüggéseket nem használhatjuk az (1) egyenlet megoldására. Oldjuk meg tehát a feladatot numerikusan. Az alapötlet az, hogy olyan kis szakaszokra bontjuk fel a mozgást, amely szakaszokon belül a gyorsulás már jó közelítéssel állandónak tekinthető, és ezeken a szakaszokon belül a jól ismert képleteket alkalmazhatjuk. A számolás egy lehetséges menete tehát a következő:

n

egyenlő részre osztjuk a

T = 150 s

repülési időt

(Δ t = T / n)

; a

0

Δ t ... (n - 1) Δ t

pillanatokban kiszámoljuk

a

-t, ennek segítségével a

Δ t

idő múlva elért sebességeket:

\begin{matrix} v_{i} = v_{i - 1} + a_{i - 1} Δ t; 1 \leq i \leq n, \end{matrix}

(2)

majd az egyes időintervallumok alatt megtett utakat

\begin{matrix} s_{i} = \frac{v_{i - 1} + v_{t}}{2} Δ t . \end{matrix}

Az elért magasság az összes

s_{i}

út összege. Ily módon számolva

Δ t = 10 s

;

2 s

;

1 s

;

0, 2 s

felosztásokat használva a rakéta által elért magasság: 75 158 m, 80 933 m, 81 700 m, ill. 82 322 m, és a végsebesség: 1691 m/sec, 1834 m/sec, 1853 m/sec, ill. 1868 m/sec. Látható, hogy a

Δ t \leq 2 s

választás ad kielégítő eredményt. Lecsökkenthetjük azonban a számolási időt, ha reálisabb gyorsulási értéket rendelünk az egyes szakaszokhoz. Végezzük el az előző számolást azzal a különbséggel, hogy (2) helyett a következő kifejezést használjuk:

\begin{matrix} v_{i} = v_{i - 1} + \frac{a_{i - 1} + a_{i}}{2} Δ t . \end{matrix}

'

)

Az I. táblázatban megadott értékeket

Δ t = 10 s

esetén kaptuk.

\begin{matrix} Idő (s) & 20 & 40 & 60 & 80 & 100 & 120 & 140 & 150 \\ Sebesség (m/s) & 53,8 & 137 & 259 & 431 & 673 & 1 017 & 1 525 & 1 880 \\ Út (m) & 503 & 2 372 & 6 287 & 13 126 & 24 079 & 40 834 & 66 001 & 83 022 \end{matrix}

Láthatjuk tehát, hogy a számolási időt kb. tizedrészére csökkenthettük a közelítés pontosításával.
Becsüljük meg a kezdeti feltevéseink által okozott hibát. 80 km magasan a nehézségi gyorsulás kb. 3%-kal kisebb, mint a földfelszínen. Mivel ebben a magasságban a rakéta gyorsulása közelítőleg

40 {m/s}^{2}

, így a földfelszíní

g

használata folytán (1) jobb oldalának kiszámításában elkövetett hiba

< 1 %

.
Most indokoljuk meg az

F_{k} \approx 0

közelítést. Tegyük fel, hogy a közegellenállás

\begin{matrix} F_{k} = (1 / 2) c A ϱ v^{2} \end{matrix}

alakban adható meg, hol

c

az alakfaktor,

A

a keresztmetszet,

ϱ

pedig a levegő sűrűsége. Kis sebességeknél tehát

F_{k}

valóban kicsi, pl. 137 m/s-nál 2 km magasságban

F_{k} \approx 0,002 F_{t} (c = 0, 1, A = 75 m^{2})

. Nagy sebességek elérésekor viszont a rakéta már magasan lesz, ahol a levegő sűrűsége kicsi

[ϱ \sim ϱ_{0} exp (- h)]

, és így pl. 40 km magasan, ahol a sebesség már

\approx 1000 m/s

F_{k} \approx 7 \cdot 10^{- 4} F_{t}

. A közbenső szakaszon az

F_{k}

-nak maximuma van:

F_{k} \approx 5 \cdot 10^{- 3} F_{t}

tehát az elhanyagolás jogos.

II. megoldás. Az előző megoldásban használt közelítésekkel az (1) egyenletet analitikusan is megoldhatjuk. (1) idő szerinti integrálásával kapjuk a sebességet (figyelembe véve, hogy

t = 0

esetén

v = 0

\begin{matrix} v = (F_{i} / k) ln [1 - (k / m_{0}) t] - g t, \end{matrix}

majd ezt ismét idő szerint integrálva

(s (0) = 0

figyelembevételével

)

kapjuk az útfüggvényt:

\begin{matrix} s = \frac{F_{i} m_{0}}{k^{2}} (1 - \frac{k}{m_{0}} t) ln (1 - \frac{k}{m_{0}} t) + \frac{F}{k} t - \frac{g}{2} t^{2} . \end{matrix}

Az utóbbi integráláshoz felhasználtuk az

\begin{matrix} \int ln x d x = x ln x - x \end{matrix}

összefüggést.
Ugyanazon adatokat behelyettesítve, mint előbb:

\begin{matrix} v_{150} & = 1872 m/s, \\ s_{150} & = 82 484 m . \end{matrix}

Márk Géza (Budapest, Könyves K. Gimn., IV. o. t.)
Liszkay László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján