Feladat:	1533. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakonyi Gábor ,  Czakó Ferenc ,  Gyurós Tibor ,  Kerner Ágnes ,  Pöltl János Tamás ,  Várhelyi Tamás
Füzet:	1979/szeptember, 36 - 38. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arkhimédész törvénye, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: 1533. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A kúp kiugrásának a magasságát legegyszerűbben az energiamegmaradás törvénye segítségével számolhatjuk. Két eset lehetséges: a kúp vagy teljesen kiugrik, vagy egy része még a folyadékban marad. Vizsgáljuk először az első esetet! Vegyük az energia nulla szintjének a teljesen benyomott kúp energiáját. Ha a kúp $x$ magasságra ugrik ki, a helyzeti energiája $\begin{array}{c}{\displaystyle V_k{\varrho }_{k}gx=\left(r^2\pi /3\right)m{\varrho }_{k}gx}\end{array}$ értékkel nő, ahol $r$ az alapkör sugara, $m$ a kúp magassága. ${\varrho }_k$ a sűrűsége, $g$ a nehézségi gyorsulás (l. az 1. ábrát). Ugyanakkor a folyadék helyzeti energiája csökken, mert a kúp helyére folyadék áramlik. A folyadék energiájának változása (2. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle -s\left(r^2\pi /3\right)mg{\varrho }_f=-\left(1/4\right)\left(r^2\pi /3\right)m^{2}g{\varrho }_f\mathrm{,}}\end{array}$     1. ábra     2. ábra     3. ábra   ahol $s$ a kúp helyére áramlott folyadék súlypontjának a mélysége: $s=\left(1/4\right)m$ (a helyzeti energia szempontjából úgy vehető, hogy a folyadék a felszínről áramlik a visszamaradó helyre), ${\varrho }_f$ a folyadék sűrűsége. A két energiaváltozás összegének nullának kell lennie: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(r^2\pi /3\right)m{\varrho }_{k}gx-\left(1/4\right)\left(r^2\pi /3\right)m^{2}g{\varrho }_f=\mathrm{0,}}\end{array}$ innen $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\left(m/4\right)\left({\varrho }_f/{\varrho }_k\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a megoldás csak akkor helyes, ha $x>m$, azaz ${\varrho }_f>4{\varrho }_k$. Ellenkező esetben a kúp nem ugrik ki teljesen. A kúp helyzeti energiája ekkor $\left(r^2\pi /3\right)m{\varrho }_{k}gx\text{'}$-vel növekszik, viszont a folyadék helyzeti energia csökkenése kisebb. Ezt legkönnyebben úgy kaphatjuk meg, ha az $\left(1/4\right)\left(r^2\pi /3\right)m^{2}g{\varrho }_f$-ből kivonjuk a kúp bennmaradó része által kiszorított folyadék helyzeti energiáját (3. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle -\left[\left(1/4\right)m^2\left(r^2\pi /3\right)g{\varrho }_f-\left(1/4\right)m{\text{'}}^2\left(r{\text{'}}^2\pi /3\right)g{\varrho }_f\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $m\text{'}=m-x\text{'}$, $r\text{'}=\left[\left(m-x\text{'}\right)/m\right]\cdot r$, a folyadék helyzeti energia csökkenése ebben az esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{1}{4}{m}^2{r}^2\frac{\pi }{3}g{\varrho }_f\left[1-{\left(\frac{m-x\text{'}}{m}\right)}^4\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Így az energiaváltozások kiegyenlítődését az $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2\frac{\pi }{3}mx\text{'}{\varrho }_{k}g-\frac{1}{4}\frac{m^2{r}^2\pi }{3}g{\varrho }_f\left[1-{\left(\frac{m-x\text{'}}{m}\right)}^4\right]=0}\end{array}$ egyenlet írja le. Ezt átrendezve az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{m-x\text{'}}{m}\right)}^3+{\left(\frac{m-x\text{'}}{m}\right)}^2+\left(\frac{m-x\text{'}}{m}\right)+\left(1-4\frac{{\varrho }_k}{{\varrho }_f}\right)=0}\end{array}$ egyenletet kapjuk. Ennek a megoldása adja a kiugrás $x\text{'}$ magasságát, feltéve, hogy ${\varrho }_f>4{\varrho }_k$ és így $x\text{'}<m$.   Czakó Ferenc (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)   Megjegyzés. A fenti eredmények csak felső becslések, ugyanis feltételeztük, hogy abban a pillanatban, amikor a kúp megáll, a folyadék áramlása is éppen megáll, és a felszíne pont vízszintes. Egyik feltételezés sem magától értetődő, és amennyiben nem teljesülnek, a folyadék energiacsökkenése kisebb, kevesebb energia jut a kúp kiugrására.