Kezdőlap


Feladat:	1522. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szoljár Ágnes
Füzet:	1979/április, 183 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: 1522. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először a feladatot a következőképpen értelmezzük: a három ember akkor jut el a városba, ha mindhárman egyidejűleg ott vannak.
Egyszerre indulnak. A mindenkori gyalogosok nyilván a város felé futnak. Visszafordulnia csak a motorosnak érdemes, hogy miután előző utasát letette, a hátrább levő gyalogost felvegye. A legáltalánosabb módszert az 1. ábra szemlélteti. Folytonos vonallal a motoron ülő, szaggatottal a futó emberek útját jelöltük.

1. ábra

Azt a lehetőséget elvethetjük, hogy a motort egymásnak hátrahagyják. Ugyanis amíg a motor sebessége a futóénál nagyobb, rövidebb lesz a beérési idő, ha a motor hátrahagyása helyett azzal valaki visszafordul.
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a motort mindig ugyanaz vezeti. Ha a három ember a városba nem egyszerre jut el, hanem például az, aki az utolsó szakaszt futva teszi meg, megelőzi társait, akkor az utóbbiak megérkezési ideje számít beérkezési időnek. Könnyen beláthatjuk, hogy ekkor a cél elérésének ideje nem lehet minimális. Ha ugyanis a motoros a várostól kicsivel távolabb, az

A

pontban teszi le a városba gyalogosan érkezőt, akkor ő még mindig hamarabb ér be a többieknél. Ezért még mindig a motoros beérkezési idejét kell figyelembe vennünk, azonban most a motoros az előbbi esetnél hamarabb ér célba, hiszen pl. a motoros

A

pontba érésének időpontjától számítva a motorosnak rövidebb utat kell megtennie a városba érésig.
Hasonlóan láthatjuk be, hogy ha a motorral érkeznek meg hamarabb, akkor is lerövidíthető a beérkezési idő. Következésképpen, ha a legrövidebb idő alatt érnek célba, akkor mindhárman egyszerre érkeznek meg.
Jelöljük a teljes távolságot

s

-sel, a többi jelölést az

1.

ábra magyarázza. A motoros

\begin{matrix} T_{1} = \frac{s + 2 \sum_{i = 1}^{n} l_{i}}{v_{2}} \end{matrix}

(1)

idő alatt, az pedig, aki utasként indult,

\begin{matrix} T_{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{m} 8_{i}}{v_{2}} + \frac{s - \sum_{i = 1}^{m} s_{i}}{v_{1}} \end{matrix}

(2)

idő alatt éri el a várost.
Aki éppen nem motoron ült, az egy szakaszon annyi ideig gyalogolt, amíg a motoros egyet fordult, és vele újból találkozott. Írjuk fel az idők egyenlőségét azokra a szakaszokra, ahol a gyalog elindult ember futott, azaz a motoros minden páratlanadik fordulójára! (Ha az

1. /

a ábra szerint érik el a várost, akkor az utolsó szakaszon kihasználjuk, hogy a városba egyszerre érkeznek meg.) Így a következő egyenleteket nyerjük

\begin{matrix} \frac{s_{1} - l_{1}}{v_{1}} = \frac{s_{1} + l_{1}}{v_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{s_{2} - l_{2} - l_{3}}{v_{1}} = \frac{s_{2} + l_{2} + l_{3}}{v_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} ⋮ \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{s_{m - 1} - l_{n - 1} - l_{n - 2}}{v_{1}} = \frac{s_{m - 1} + l_{n - 1} + l_{n - 2}}{v_{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{s_{m - 1} - l_{n - 2} - l_{n - 3}}{v_{1}} = \frac{s_{m - 1} + l_{n - 2} + l_{n - 3}}{v_{2}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{s_{m} - l_{n}}{v_{1}} = \frac{s_{m} + l_{n}}{v_{2}} vagy \frac{s_{m} - l_{n} - l_{n - 1}}{v_{1}} = \frac{s_{m} + l_{n} + l_{n - 1}}{v_{2}}, \end{matrix}

attól függően, hogy az

1. /

a vagy az

1. /

b ábra szerint jutnak el a városba. Adjuk össze az egyenleteket:

\begin{matrix} \frac{\sum_{i = 1}^{m} s_{i} - \sum_{i = 1}^{n} l_{i}}{v_{1}} = \frac{\sum_{i = 1}^{m} s_{i} + \sum_{i = 1}^{n} l_{i}}{v_{2}} . \end{matrix}

(3)

(1)

(2)

és

(3)

egyenletek, valamint

T_{1} = T_{2}

alapján a

T_{1}

T_{2}

\sum_{i = 1}^{m} s_{i}

és

\sum_{i = 1}^{n} l_{i}

ismeretleneket kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{m} s_{i} = S = s \frac{v_{1} + v_{2}}{3 v_{1} + v_{2}}, \\ \sum_{i = 1}^{n} l_{i} = L = s \frac{v_{2} - v_{1}}{3 v_{1} + v_{2}}, \\ T_{1} = T_{2} = T = \frac{s}{v_{2}} \cdot \frac{3 v_{2} + v_{1}}{3 v_{1} + v_{2}} . \end{matrix}

A sebesség átlagértéke az

s

út és a megtételéhez szükséges

T

idő hányadosa. Ennek értéke mindhármuknál azonos:

\begin{matrix} \bar{v} = v_{2} \frac{3 v_{1} + v_{2}}{3 v_{2} + v_{1}} . \end{matrix}

Számadatainkkal, ha

v_{2} = 70 km/h

, akkor a keresett mennyiségek

\begin{matrix} T = 37' 48'', \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{v} = 31, 82 km/h, \end{matrix}

v_{2} = 25 km/h

, akkor

\begin{matrix} T & = 1 h 14' 10'', \\ \bar{v} & = 16, 18 km/h . \end{matrix}

A végeredmény független attól, hányszor fordul a motoros. A legegyszerűbb megoldás a

2.

ábrán látható.

2. ábra

A városba való eljutást következő módon is értelmezhetjük: akkor jutottak el oda, ha már mindegyikük megfordult ott. Megmutatjuk, hogy így a célbaérés ideje nem rövidíthető le.
Az új értelmezést ott használhatjuk ki, hogy ha a motorral érkeznek hamarabb a városba, akkor a visszafordulónak már nem kell újra visszatérnie a városba. Ha a motoros eredetileg egyedül érkezne a városba, akkor az eljutási időt nem növeli, ha azt a társát, akivel legutóbb találkozott, magával viszi. Ezért feltehetjük, hogy a motoron ketten érkeznek meg. Visszafordulnia viszont egyiküknek elegendő, ezért amikor a még gyaloglóval találkozik, azt felveheti, s ő is visszatérhet. Ezt az esetet az előző értelmezés szerinti tárgyalás már magában foglalja, az új értelmezést az idő lerövidítésére tehát nem használhatjuk fel.

Szoljár Ágnes (Cegléd, Kossuth Lajos Gimn., II. o. t.)