Kezdőlap


Feladat:	1521. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benkő Zsigmond , Csordás András , Czuczor Lajos , Fábián László , Fábián Zoltán , Kovács Zoltán , Kovács Zoltán , Láng Győző , Monostori Sándor , Nagy János , Tomsics László , Udvardi László , Vesztergombi Antal , Wéber Zoltán
Füzet:	1979/április, 181 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi töltéssűrűség, Gömbkondenzátor, Elektromos fluxus (erővonalszám), Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Térerősség és erő, Görbületi nyomás, Felületi feszültségből származó energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: 1521. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételezésünk szerint a buborék távol van minden elektrosztatikus erőhatástól. Ekkor a buborék emelkedését az okozza, hogy a rávitt töltések egymást taszítván megnövelik a buborék térfogatát: ezzel növekszik a felhajtóerő.
Először azt vizsgáljuk meg, hogy mekkorára kell növelni a buborékot ahhoz, hogy a felhajtóerő éppen a buborék súlyával legyen egyenlő! Kezdeti állapotban a buborék belsejében a nyomás ( $p_{k}$ a külső légnyomás, $α$ a felületi feszültség, $R_{1}$ a buborék sugara):

\begin{matrix} p_{b 1} = p_{k} + 4 α / R_{1} . \end{matrix}

Ekkor a Boyle‐Mariotte-törvény alapján a bezárt levegő sűrűsége (a külső és belső hőmérséklet azonos,

ϱ_{k}

a külső levegő sűrűsége):

\begin{matrix} ϱ_{b} = \frac{p_{b 1}}{p_{k}} ϱ_{k} = \frac{p_{k} + (4 α / R_{1})}{p_{k}} ϱ_{k}, \end{matrix}

így a buborékba zárt levegő tömege

\begin{matrix} m_{l} = \frac{p_{k} + (4 α / R_{1})}{p_{k}} ϱ_{k} \cdot \frac{4 π R_{1}^{3}}{3} . \end{matrix}

A szappanhártya tömegét

m_{s z}

-szel jelölve, a buborék teljes tömege

m_{l} + m_{s z}

. A buborék akkor lebeg, ha a sugarát

\begin{matrix} R_{2} = {(\frac{m_{l} + m_{s z}}{ϱ_{k}} \cdot \frac{3}{4 π})}^{1 / 3} \end{matrix}

nagyságúra növeljük.
Most azt vizsgáljuk meg, mekkora

Q

töltés rávitele után lesz a sugár

R_{2}

. (Nyilván ennél több töltést kell a buboréknak adnunk, hogy felfelé szálljon.) Most a belső és külső nyomás különbsége a felületi feszültségből eredő görbületi nyomáson kívül a töltések taszításából származó

F

feszültséggel is egyensúlyt tart

\begin{matrix} p_{b 2} - p_{k} = (4 α / R_{2}) - F . \end{matrix}

F

-et a következő módon határozhatjuk meg. Egy

R

sugarú gömb kapacitása

C = 4 π e_{0} R = R / k

(

e_{0}

az elemi töltés), így a rajta tárolt Q töltésnek

Q^{2} / (2 C) = k Q^{2} / (2 R)

energiája van. Nyomjuk össze gondolatban a töltéseket egy kicsiny

Δ r

-rel kisebb sugarú gömb felületére! Az összenyomás során végzett munka

F \cdot 4 π R^{2} \cdot Δ r

, és ez teljes mértékben a töltések potenciális energiáját növeli:

\begin{matrix} Δ r \cdot F \cdot 4 π R^{2} = \frac{k Q^{2}}{2} (\frac{1}{R} - \frac{1}{R - Δ r}) ≃ \frac{k Q^{2}}{2 R^{2}} Δ r, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} F = \frac{k Q^{2}}{8 π R^{4}} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} p_{b 2} = p_{b 1} {(\frac{R_{1}}{R_{2}})}^{3} \end{matrix}

alapján a

\begin{matrix} p_{b 1} {(\frac{R_{1}}{R_{2}})}^{3} - p_{k} = \frac{4 α}{R_{2}} - \frac{k Q^{2}}{8 π R_{2}^{4}} \end{matrix}

egyenlethez jutunk. A külső levegőt normál állapotúnak véve,

R

m_{s z}

és

α

ismert értékeit felhasználva

m_{l} + m_{s z} = 2, 4 g

R_{2} = 7, 63 cm

és

Q = 2, 2 \cdot 10^{- 5} C

adódik.

Kovács Zoltán (Kalocsa, I. István Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A fenti megoldásban elhanyagoltuk a Föld felszínén észlelhető elektrosztatikus erőteret. Ennek a térnek az erőssége jelentősen függ a körülményektől; iránya és nagysága attól függ pl., hogy szobában vagyunk-e vagy szabadban, ha szabadban vagyunk, vannak-e nagyméretű tárgyak (fák, épületek) a közelben, süt-e a nap vagy borús az idő stb. Kézenfekvő tehát az a feltételezés, hogy ezeket a bizonytalan körülményeket úgy rögzítettük, hogy ne játsszanak szerepet pl. azzal, hogy a kísérletet szobában végezzük, ahol a térerősség értéke nulla. Külső elektromos tér jelenlétében egyébként a megoldás lényegesen módosul. Ekkor ugyanis a töltésekre ható elektrosztatikus erő helyettesíti a szükséges felhajtóerő egy részét. Az

R_{2}

értékét meghatározó egyenlet

\begin{matrix} (m_{l} + m_{s z}) g = E Q + (4 π R_{2}^{3} / 3) \cdot ϱ_{k} g . \end{matrix}

2. Az

F

értékét szemléletesen is értelmezhetjük: ha a töltések a gömb felületén valamilyen kicsiny, de pozitív vastagságú rétegben egyenletesen oszlanak el, az elektromos térerősség a rétegben egyenletesen nő fel a gömbön belüli nulla értékről a gömb külső felületén levő

k Q / R^{2}

értékre. Így a

Δ A

felületelemben levő

Δ A \cdot Q / (4 π R^{2})

töltés helyén a térerősség átlaga

k Q / (2 R^{2})

, tehát a felületelemet kifelé taszító erő

\begin{matrix} Δ A \cdot F = Δ A \cdot \frac{k Q^{2}}{8 π R^{4}} . \end{matrix}

3. Sok megoldó alkalmazta az energiamegmaradás törvényét helytelenül. Az energiamegmaradás törvénye csak zárt rendszerben igaz, de a buborék a benne levő levegővel együtt nem az, mert lényeges szerepet játszik a közte és a környezete között végbemenő hőcsere: ez biztosítja a hőmérséklet állandóságát.