Kezdőlap


Feladat:	1519. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Gyula , Keszthelyi Bettina , Pakai Tibor , Sipos Adrien , Trócsányi Zoltán
Füzet:	1979/április, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Árapály, Newton-féle gravitációs erő, Centrifugális erő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: 1519. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az apály és a dagály (a tengereken észlelhető nagyjából szabályos vízszintváltozások) az inhomogén gravitációs tér következménye. A feladat tárgyalásához először tekintsük a Földet és a Holdat is pontszerűnek és a többi égitest gravitációs hatását hanyagoljuk el. Ebben az esetben Newton III. törvénye szerint a súlypont vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonalú állandó sebességű mozgást végez. Mivel a mozgásegyenletek mindkét esetben ugyanolyan alakúak, így a súlypontot önkényesen állónak tekinthetjük. A két test ekkor vagy egymás felé mozogva a súlypontba tart, vagy a súlypont körül görbe vonalú mozgást végez. A Föld és Hold esetén ez utóbbi valósul meg, és pályájukat első közelítésben kör alakúnak vesszük. A körpályán maradáshoz szükséges centripetális erő a gravitációs erő.

A Föld mozgásegyenlete tehát (1. az ábrát):

\begin{matrix} m_{F} r_{S} ω^{2} = γ \frac{m_{F} \cdot m_{H}}{R^{2}}, \end{matrix}

(1)

ahol

m_{F}

m_{H}

a Föld és Hold tömege,

R

a Föld‐Hold távolság,

r_{S}

pedig a Föld távolsága a súlyponttól. A súlypont egyenlete

\begin{matrix} \frac{m_{H}}{m_{F}} = \frac{r_{S}}{R - r_{S}}, \end{matrix}

(2)

Mi a következménye annak, hogy a Föld nem pontszerű? Az

(1)

egyenletet ekkor is felírhatjuk, de jelentése megváltozik. Ekkor szigorúan véve csak a súlypont mozgását írja le. A Föld igen nagy gravitációs ereje miatt a Föld merev testként viselkedik, hiszen valamennyi pontja lényegileg mozdulatlan a Földhöz képest, azaz a Földdel együtt mozog az

(1)

által meghatározott pályán. A Hold gravitációs ereje azonban a Holdtól való távolság függvényében más és más a Föld különböző pontjain, így nyilvánvalóan nem egyezhet meg mindenütt a körmozgáshoz szükséges centripetális erővel. Azonban tudjuk, hogy a merev test összes pontját az

(1)

-nek megfelelő körpályára kényszeríti, így a centripetális erő a környezet kényszererejének és a Hold gravitációs erejének eredője. Számoljuk ki ezt a kényszererőt, illetve a kényszererőnek megfelelő gyorsulást a Föld egy tetszőleges

P

pontjában. Az ábra alapján

\begin{matrix} | a_{g r} - a_{c l} | = {\frac{{(γ m_{H})}^{2}}{R_{P}^{4}} + \frac{{(γ m_{H})}^{2}}{R^{4}} - 2 \frac{{(γ m_{H})}^{2}}{R_{P}^{2} \cdot R^{2}} \cdot \frac{R - r cos φ}{R_{P}}}^{1 / 2} = \\ = \frac{γ m_{H}}{R^{3}} \cdot r \sqrt[]{3 cos^{2} φ + 1} . & (3) \end{matrix}

A számoláshoz felhasználtuk az

\begin{matrix} \frac{1}{1 - a ε + b ε^{2}} \approx 1 - a ε + (a^{2} - b) ε^{2}; {(1 + a ε + b ε^{2})}^{- 1 / 2} \approx 1 - \frac{a}{2} ε + (\frac{3}{8} a^{2} - \frac{b}{2}) ε^{2} \end{matrix}

összefüggéseket, amelyek

ε ≪ 1

esetén

(ε = r / R)

jó közelítésnek számítanak. Célszerű az így kapott gyorsulást a Föld felszínéhez képest merőleges és érintőleges összetevőkre bontani:

\begin{matrix} a_{⊥} = \frac{γ m_{H}}{R^{3}} r (3 cos^{2} φ - 1), a_{∥} = \frac{3 γ m_{H}}{2 R^{3}} r sin 2 φ . \end{matrix}

(4)

A gyorsulás merőleges összetevője nyilván azt mutatja meg, hogy az alátámasztásból származó kényszer, azaz a Hold miatti súlyváltozás mekkora lesz a

P

pontban. Az árapály jelenséget az

a_{∥}

komponens magyarázza.

a_{∥}

azt mutatja meg, hogy a

P

pontra a környezetnek milyen erővel kell hatnia (vagy hogy a

P

pont hogyan hat a környezetre), hogy azt a megadott körpályára kényszerítse. Szilárd anyagok esetén kis oldalirányú elmozdulások esetén olyan nyíróerők ébrednek, amelyek képesek ezt az erőt kifejteni. Más a helyzet folyadékoknál. Tudjuk, hogy ha vizet tartalmazó edényt gyorsítunk, akkor az egyes folyadékelemek gyorsulásához szükséges erőt az adja, hogy a folyadékfelszín ferde lesz, és így az egymás mellett levő folyadékoszlopokra oldalirányú hidrosztatikai nyomás hat. Ugyanez történik a tengereknél is. Az

a_{∥}

-nak megfelelő erőt csak ferde felszín esetén tudja biztosítani a tenger.

(4)

szerint a

P_{1}

P_{2}

P_{3}

P_{4}

pontok mindegyikében

a_{∥} = 0

; a

P_{1}

ponttól a

P_{2}

pont felé haladva végig pozitív, míg a

P_{2}

ponttól a

P_{3}

pont felé haladva végig negatív, azaz a vízszint a

P_{2}

ponttól a

P_{1}

és

P_{3}

pont felé emelkedik:

P_{2}

-ben (és ugyanígy

P_{4}

-ben) apály van,

P_{1}

és

P_{3}

pontokban pedig dagály.
A Föld saját tengelye körüli forgása modellszámításunkat nem befolyásolja, aminek a következménye az, hogy a dagályok helyzetét mindig a Hold határozza meg: ezért a Föld saját tengelye körüli forgása során a dagályhullám végigvonul a Földön. Ezzel a jelenség kvalitatív leírását megadtuk. Egyszerűsítő feltevéseink miatt sok dagállyal kapcsolatos jelenségre nem tudunk választ adni. Ha a fenti számoláshoz hasonlóan a Nap hatását is kiszámolnánk, teljesebb lenne a képünk. Azt azonban, hogy a Föld különböző pontjain miért különbözik oly erősen a dagály nagysága, azt csak akkor érthetjük meg, hogyha a dagályhullám áramlási viszonyait tanulmányozzuk részletesen. Ez azonban rendkívüli bonyolult probléma.
Megjegyzés. A megoldások elbírálásánál

3

ponttal értékeltük az összes olyan helyes megoldást, amely valamilyen kézikönyv alapján készült. Kiemelkedőek azok a megoldások, amelyek részletesebb, lényegileg helyes számolásokkal kísérelték megoldani a problémát.