Kezdőlap


Feladat:	1515. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajnóczy Ildikó , Bori Róbert , Eszes László , Horváth István , Kerekes Tibor , Kökényesi Imre , Nagy Katalin , Osgyáni Zsuzsanna , Pöltl János Tamás , Simon József
Füzet:	1979/március, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: 1515. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először feltételezzük, hogy a testek tetszőleges ideig akadálytalanul esnek. A testek vízszintes elmozdulásai $t$ idő alatt $s_{1} = v_{1} t cos α_{1}$ , ill. $s_{2} = v_{2} t cos α_{2}$ .

1. ábra

Az 1. ábra alapján távolságuk vetülete a vízszintes síkra:

\begin{matrix} d_{1} = {[s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2 s_{1} s_{2} cos φ]}^{1 / 2}, \end{matrix}

(1)

azaz

\begin{matrix} d_{1} = t {[v_{1}^{2} cos^{2} α_{1} + v_{2}^{2} cos^{2} α_{2} - 2 v_{1} v_{2} cos α_{1} cos α_{2} cos φ]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Mindkét test

g

gyorsulással esik, így a mozgáskülönbséget kizárólag a sebességek függőleges komponensének különbsége okozza:

\begin{matrix} d_{2} = (v_{1} sin α_{1} - v_{2} sin α_{2}) t . \end{matrix}

Ezek felhasználásával a testek távolsága:

\begin{matrix} d = {(d_{1}^{2} + d_{2}^{2})}^{1 / 2} = t {[v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} (cos α_{1} cos α_{2} cos φ - sin α_{1} sin α_{2})]}^{1 / 2} . \end{matrix}

(2)

t = 2 s

-nál ebből

d = 10, 94 m

-t kapunk.
Érdekes megvizsgálni a távolság változását abban az esetben, amikor a hajítás a földfelszínről történik és a testek a talajba csapódnak.
(2) képlet addig írja le helyesen a változást, amíg mindkét test repül. A repülési idő ferde hajításnál

t = \frac{2 v sin α}{g}

, adatainkból

t_{1} = 1, 02 s

t_{2} = 0, 85 s

. A

t_{2} ≦ t ≦ t_{1}

időintervallumban a második test a hajítás kezdőpontjából

\begin{matrix} s_{2} = v_{2} t_{2} cos α_{2} = (v_{2}^{2} / g) sin 2 α_{2} \end{matrix}

távolságra a földön fekszik, az első test vízszintesen

s_{1} = v_{1} t cos α_{1}

távolságot tett meg, és

h = v_{1} t sin α_{1} - (g / 2) t^{2}

magasan van. (1) felhasználásával a

t_{2} ≦ t ≦ t_{1}

-re érvényes időfüggés:

\begin{matrix} d = {(d_{1}^{2} + h^{2})}^{1 / 2} = [{(\frac{v_{2}^{2}}{g} sin 2 α_{2})}^{2} + v_{1}^{2} t^{2} cos^{2} α_{1} - 2 v_{1} t^{2} cos^{2} α_{1} {(\frac{v_{2}^{2}}{g} sin 2 α_{2})}^{2} cos φ + \\ + {(v_{1} t sin α_{1} - \frac{g}{2} t^{2})}^{2}]^{1 / 2} . & (3) \end{matrix}

t ≧ t_{2}

-re a testek a hajítás helyétől

s_{2} = (v_{2}^{2} / g) sin 2 α_{2}

, illetve

s_{1} = (v_{1}^{2} / g) sin 2 α_{1}

távolságra vannak a talajon, így (1)-be beírva:

\begin{matrix} d = d_{1} = {[{(\frac{v_{2}^{2}}{g} sin 2 α_{2})}^{2} + {(\frac{v_{1}^{2}}{g} sin 2 α_{1})}^{2} - 2 \frac{v_{1}^{2} v_{2}^{2}}{g^{2}} sin 2 α_{2} sin 2 α_{1} cos φ]}^{1 / 2} . \end{matrix}

(4)

t = 2 s

időpontban már földet értek a testek, így (4)-et használva

d = 5, 47 m

. A távolság időfüggését a 2. ábra mutatja a két esetre.

2. ábra

Kökényesi Imre (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.)