Kezdőlap


Feladat:	1512. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csordás András , Kaufmann Zoltán , Kókai László , Simon István
Füzet:	1979/március, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb váltóáramú áramkörök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: 1512. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A műszer akkor jelez nullát, ha az $A$ és $B$ pontok közötti feszültségkülönbség minden időpillanatban nulla. Ez akkor teljesül, ha a két pont között nincs fáziskülönbség, valamint az $R_{1}$ és $R_{2}$ ellenállásokon eső feszültség abszolút értéke megegyezik.

Legyen a generátor feszültsége

U_{0} sin ω t

. Ekkor a

C A D

, illetve a

C B D

ágban folyó áram (l. az ábrát):

\begin{matrix} I_{C A D} = \frac{U_{0} sin (ω t + φ_{1})}{\sqrt[]{{(R + R_{1})}^{2} + ω^{2} L^{2}}}, & (1) \\ I_{C B D} = \frac{U_{0} sin (ω t + φ_{2})}{\sqrt[]{{(R_{2} + R_{3})}^{2} + ω^{2} L_{3}^{2}}}, & (2) \end{matrix}

ahol a

φ_{1}

és

φ_{2}

fázistolások értéke:

\begin{matrix} tg φ_{1} = \frac{ω L}{R + R_{1}}, tg φ_{2} = \frac{ω L_{3}}{R_{2} + R_{3}} . \end{matrix}

(3)

Mivel az

R_{1}

és

R_{2}

ohmos ellenállások a fázist nem változtatják meg, az

A

és

B

pontok fázisegyenlőségének feltétele:

\begin{matrix} φ_{1} = φ_{2}; \frac{L ω}{R + R_{1}} = \frac{L_{3} ω}{R_{2} + R_{3}} . \end{matrix}

(4)

R_{1}

és

R_{2}

ellenállásokon eső feszültségek abszolút értékének egyenlőségéből:

\begin{matrix} I_{C A D} R_{1} = I_{C B D} R_{2}, \\ \frac{R_{1}}{\sqrt[]{{(R + R_{1})}^{2} + ω^{2} L^{2}}} = \frac{R_{2}}{\sqrt[]{{(R_{2} + R_{3})}^{2} + ω^{2} L_{3}^{2}}} . & (5) \end{matrix}

Célszerű (4)-ből

(R + R_{1})

-et kifejezni és (5)-be helyettesíteni. Átrendezés után:

\begin{matrix} L = \frac{R_{1}}{R_{2}} L_{3} = 1 H, \end{matrix}

(6)

majd (4) alapján

\begin{matrix} R = \frac{R_{1}}{R_{2}} R_{3} = 450 Ω . \end{matrix}

(7)

A híd kiegyenlítése független a váltófeszültség frekvenciájától.

II. megoldás. Az előző megoldással egyenértékű a komplex írásmód alkalmazása. A híd árammentességének feltétele a komplex impedanciákkal:

\begin{matrix} \frac{Z_{C A}}{Z_{A D}} = \frac{Z_{C B}}{Z_{B D}}, \end{matrix}

(1)

ahol

\begin{matrix} Z_{C A} = R + j ω L, & Z_{A D} = R_{1}, \\ Z_{C B} = R_{3} + j ω L_{3}, & Z_{B D} = R_{2} . \end{matrix}

(1) alapján

\begin{matrix} \frac{R + j ω L}{R_{1}} = \frac{R_{3} + j ω L_{2}}{R_{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} R R_{2} + j ω L R_{2} = R_{1} R_{3} + j ω L_{3} R_{1} . \end{matrix}

A valós és képzetes részek egyenlőségéből:

\begin{matrix} R = \frac{R_{1}}{R_{2}} R_{3}, L = \frac{R_{1}}{R_{2}} L_{3}, \end{matrix}

az első megoldással egyezően.

Simon István (Székesfehérvár, József A. Gimn., IV. o. t.)