Kezdőlap


Feladat:	1510. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csordás András , Czuczor Lajos , Kaufmann Zoltán , Samu Péter , Sas Viktor
Füzet:	1979/február, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Egyéb szabad tengely körüli forgás, Energiamegmaradás, Elemi függvények differenciálhányadosai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: 1510. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábráról leolvasható a pálca helyzeti energiájának változása: $m g (l / 2) (1 - sin α)$ , így $v$ -vel a tömegközéppont sebességét, $ω$ -val a forgás szögsebességét jelölve a mechanikai energia megmaradási egyenlete:

\begin{matrix} m g (l / 2) (1 - sin α) = (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) (1 / 12) m l^{2} \cdot ω^{2} . \end{matrix}

(1)

Ha súrlódás nincs, a rúdra ható erőknek nincs vízszintes komponensük. Ekkor a tömegközéppont vízszintesen nem mozdul el. Ezért

v

függőleges irányú és

\begin{matrix} v = d h / d t = d [(l / 2) sin α] / d t = (l / 2) cos α \cdot d α / d t . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy

α

és

ω

irányítása ellentétes az ábrán:

ω = - (d α / d t)

, tehát:

\begin{matrix} v = - (l / 2) ω \cdot cos α . \end{matrix}

(2)

Ezt (1)-be helyettesítve kapjuk:

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{12 g}{l} \cdot \frac{1 - sin α}{1 + 3 cos^{2} α} . \end{matrix}

(3)

A szöggyorsulás

β = d ω / d t

. Célszerűbb azonban a (3) kifejezés idő szerinti deriváltját képezni

β

kiszámításához.

\begin{matrix} 2 ω \frac{d ω}{d t} = \frac{12 g}{l} \frac{d}{d t} (\frac{1 - sin α}{1 + 3 cos^{2} α}) = \frac{12 g}{l} \frac{cos α}{1 + 3 cos^{2} α} [1 + \frac{6 sin α (1 - sin α)}{1 + 3 cos^{2} α}] ω, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} β = \frac{6 g}{l} \frac{cos α}{1 + 3 cos^{2} α} [1 + \frac{6 sin α (1 - sin α)}{1 + 3 cos^{2} α}] . \end{matrix}

(4)

A talaj elérésekor

(α = 0)

a rúd szögsebessége (3)-ból

\begin{matrix} ω_{1} = \sqrt[]{\frac{3 g}{l}} \end{matrix}

(5)

Czuczor Lajos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Legtöbben akkor követtek el hibát, amikor azt feltételezték, hogy a tömegközéppont gyorsulása és a szöggyorsulás között a (2)-höz hasonló

α = - (l / 2) cos β

egyenlet áll fenn. A sebességek és a gyorsulások közti kényszerkapcsolatok általában csak akkor azonos alakúak, ha a sebesség és a szögsebesség között állandó együtthatós lineáris kapcsolat van. Esetünkben viszont

α

függ az időtől. A gyorsulásokra vonatkozó feltételt (2) deriválásával nyerjük:

\begin{matrix} α = d v / d t = (l / 2) (d α / d t) \cdot ω sin α - (l / 2) (d ω / d t) cos α = - (l / 2) ω^{2} sin α - (l / 2) β cos α . \end{matrix}