Kezdőlap


Feladat:	1501. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Gyula
Füzet:	1979/január, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb változó áram, Önindukció, Függvények grafikus elemzése, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: 1501. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bekapcsoláskor mindkét ágban azonos irányú áram indul meg. Az $R$ ellenálláson keresztülfolyó áram állandó értéke

\begin{matrix} I_{R} = U / R = 10 V/(150Ω)=66,6 mA. \end{matrix}

(1)

A tekercsen átfolyó

I_{L} (t)

áram értékét az

\begin{matrix} U = I_{L} (t) r + L \frac{d I_{L} (t)}{d t} \end{matrix}

(2)

huroktörvényből határozhatjuk meg.

Ehhez figyelembe kell még vennünk, hogy bekapcsoláskor, a

t = 0

időpillanatban

I_{L} (0) = 0

. Szorozzuk a (2) differenciálegyenlet mindkét oldalát

(1 / L) e^{(r / L) \cdot t}

-vel, így a következőt kapjuk:

\begin{matrix} (U / L) e^{(r / L) \cdot t} = \frac{d}{d t} [I_{L} (t) \cdot e^{(r / L) \cdot t}] . \end{matrix}

Ezután integráljuk az egyenlet mindkét oldalát

0

-tól

t

-ig és vegyük figyelembe az

I_{L} (0) = 0

feltételt:

\begin{matrix} (U / r) e^{(r / L) \cdot t} - (U / r) = I_{L} (t) e^{(r / L) \cdot t} - I_{L} (0), \end{matrix}

így

\begin{matrix} I_{L} (t) = (U / r) - (U / r) e^{- (r / L) \cdot t} . \end{matrix}

Eszerint az

I_{L}

áramerősség növekedőleg tart az

U / r

értékhez

t \to \infty

esetén:

\begin{matrix} {lim}_{t \to \infty}^{} I_{L} (t) = U / r = 100 mA. \end{matrix}

A bekapcsolás után elegendően hosszú idő elteltével a tekercsen már

100 mA

áram folyik, amikor kikapcsoljuk a kapcsolót. Ekkor a tekercsen és az

R

ellenálláson ugyanaz az

I (t)

áram folyik át, és erre a hurokra felírhatjuk a

\begin{matrix} 0 = L (d I / d t) + r I (t) + R I (t) \end{matrix}

(3)

huroktörvényt, amiből

\begin{matrix} L (d I / d t) = - (r + R) I (t) . \end{matrix}

(4)

Közvetlenül a kikapcsolás után

I (t_{0}) = 100 mA

, ennek figyelembevételével a (4) differenciálegyenlet egyértelműen megoldható. (4) alapján

\begin{matrix} \frac{1}{I (t)} \cdot \frac{d I}{d t} = - \frac{r + R}{L}, \\ \frac{d}{d t} [ln I (t)] = - \frac{r + R}{L}, \\ ln [I (t) / I_{0}] = - \frac{r + R}{L} (t - t_{0}), \\ I (t) = I_{0} e^{- [(r + R) / L] \cdot (t - t_{0})}, \end{matrix}

ahol

I_{0} = 100 mA

. Tehát

t \to \infty

esetén

I

csökkenőleg tart

0

-hoz, mint az az a) ábrán látható.
A tekercsen átfolyó áram jellegzetessége, hogy az

I (t)

függvény folytonos. Ezt a tulajdonságot a Lenz-törvény úgy fogalmazza meg, hogy az induktivitáson olyan feszültség indukálódik, ami az eredeti áramerősség megtartására törekszik.
Az

R

ellenálláson folyó áram, mint már említettük, azonos a tekercs áramával, így az áramirány ellentétes a kikapcsolás előtti áramiránnyal. Az ellenálláson folyó áram időfüggését a b) ábra mutatja. Az

R

ellenálláson eső feszültség [c) ábra] arányos a rajta átfolyó árammal, és a kikapcsolás pillanatában

\begin{matrix} U (t_{0}) = - I (t_{0}) R = - 15 V. \end{matrix}

Bene Gyula (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)