Feladat:	1498. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bene Gyula ,  Benkő Zsigmond ,  Csordás András ,  Czuczor Lajos ,  Kaufmann Zoltán ,  Kovács Zoltán
Füzet:	1979/január, 40 - 41. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Tapadó súrlódás, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: 1498. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A felfüggesztett helyzetben a fonál vonalának a tömegközépponton kell áthaladnia, így az 1. ábra alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_0=R/s=8/3.}\end{array}$ (1) Ekkor a félgömb helyzeti energiája, ha a null-szintet az asztal fölött $R$ távolságra választjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_1=-Mgs\text{cos}{\alpha }_0=-\frac{3}{8}MgR\frac{1}{\sqrt[]{1+{\text{tg}}^2{\alpha }_0}}=-\frac{9}{8\sqrt[]{73}}\cdot MgR\mathrm{.}}\end{array}$ (2)     1. ábra   A félgömb síklapjának vízszintes elhelyezkedésénél a helyzeti energia: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_2=-Mgs=-\left(3/8\right)MgR\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Célunk a síklap vízszintes helyzetében a tömegközéppont sebességkomponenseinek ($v_{sx}\mathrm{,}{v}_{sy}$) és a forgás szögsebességének ($\omega$) megadása az a) és b) esetben. a) Súrlódás nélküli eset. Vízszintesen nem hat külső erő, ezért a tömegközéppont függőleges egyenes mentén mozog, azaz az egész mozgás folyamán $v_{sx}=0$. Amikor a félgömb síklapja vízszintes, a tömegközéppont a lehető legmélyebben van, ezért ekkor $v_{sy}=0$. Így a vizsgált helyzetben a félgömbnek csak forgási energiából származó kinetikus energiája van, így az energiamegmaradás egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_1-W_2=\left(1/2\right){\Theta }_s{\omega }^2\mathrm{,}}\end{array}$ (4) ${\Theta }_s$ a tömegközépponton átmenő, a síkkal párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Ez a Steiner-tétel alapján, mivel az $O$-n átmenő párhuzamos tengelyre $\Theta =\left(2/5\right)M{R}^2$ (l. a 2. ábrát) $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Theta }_s=\left(2/5\right)M{R}^2-M{s}^2=\left(83/320\right)M{R}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (5)     2. ábra   (4)-be helyettesítve a (2), (3) és (5) összefüggéseket, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_1={\left[\frac{240}{83}\left(1-\frac{3}{\sqrt[]{73}}\right)\frac{g}{R}\right]}^{1/2}\approx \mathrm{1,37}\sqrt[]{\frac{g}{R}}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) b) A sima gördülés esete. A talajjal érintkező $A$ ponton halad át a pillanatnyi forgástengely (3. ábra); a félgömb mozgása a vizsgált helyzetben az $A$ körüli ${\omega }_2$ szögsebességi forgás.     3. ábra   Az energiamegmaradás egyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle W_1-W_2=\left(1/2\right){\Theta }_A{\omega }_2^2\mathrm{,}}\end{array}$ (7) ${\Theta }_A$ az $A$ ponton átmenő, az ábrára merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. A Steiner-tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Theta }_A={\Theta }_s+M{\left[\left(5/8\right)R\right]}^2=\left(13/20\right)M{R}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (8) (7)-be helyettesítve a (2), (3) és (8) összefüggéseket, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_2{\left[\frac{g}{R}\cdot \frac{15}{13}\left(1-\frac{3}{\sqrt[]{73}}\right)\right]}^{1/2}\approx \mathrm{0,86}\sqrt[]{\frac{g}{R}}\mathrm{.}}\end{array}$ (9) A tömegközéppont sebességkomponensei: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{sx}={\omega }_2\left(5/8\right)R\approx \mathrm{0,54}\sqrt[]{gR}\mathrm{.}{v}_{sy}=0.}\end{array}$  Czuczor Lajos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)