Feladat:	1496. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálinkás István
Füzet:	1979/január, 37 - 39. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Egyenletes mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: 1496. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A lejtőre helyezett testre a nehézségi erő ($mg$), a lejtő nyomóereje ($N$) és a súrlódási erő ($S$) hat (1. ábra). A test mozgásegyenletei (a gyorsulás nagysága $a_1$, iránya a lejtővel párhuzamos, a lejtőn felfelé mutat): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m{a}_1}& {\displaystyle =S-mg\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =N-mg\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel kezdetben a test sebessége nulla, a szalagé $v_0$, a test csúszik a szalagon, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu N\mathrm{.}}\end{array}$     1. ábra   Ahhoz, hogy a test feljusson a lejtőn, az kell, hogy gyorsulása pozitív előjelű legyen, vagyis a fenti egyenletekből kifejezve $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=g\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)>\mathrm{0,}}\end{array}$ átalakítva $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu >\text{tg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}}\end{array}$ legyen. Ha ez a feltétel teljesül, a mozgás lefolyását háromféleképpen képzelhetjük el: I. eset: a test még a bal oldali (1.) lejtőn eléri a $v_0$ sebességet; II. eset: a test a jobb oldali (2.) lejtőn éri el a $v_0$ sebességet; III. eset: a test nem éri el a $v_0$ sebességet. Vizsgáljuk meg az egyes lehetőségeket: I. eset, 1. lejtő: A test gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=g\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ a $v_0$ sebesség eléréséig megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_1=\frac{v_0^2}{2a_1}=\frac{v_0^2}{2g\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}\mathrm{.}}\end{array}$ A lejtő hossza: $s=h/\text{sin}\alpha$. A lejtő tetejére $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\frac{v_0}{a_1}+\frac{s-s_1}{v_0}=\frac{v_0}{2a_1}+\frac{s}{v_0}}\end{array}$ idő alatt ér fel a test. A lejtő a gyorsulás idején $v_0/a_1$ ideig $v_0\cdot S$ teljesítményt adott le, majd utána $s-s_1$ úton $F=mg\text{sin}\alpha$ erőt fejtett ki, így a lejtő munkavégzése az 1. szakaszon: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle W_1=\frac{v_0}{a_1}{v}_0\cdot S+\left(s-s_1\right)F=\frac{v_0^2\mu mg\text{cos}\alpha }{g\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}+sF-\frac{v_0^{2}mg\text{sin}\alpha }{2g\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle =sF+\frac{v_0^{2}m\left(2\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{2\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ 2. lejtő: Mivel $\mu >\text{tg}\alpha$, a test a lejtővel együtt mozog. A lejutás ideje $t_2=s/v_0$, a munkavégzés pedig $W_2=-sF$. Az I. esetben tehát a mozgás teljes ideje $\begin{array}{c}{\displaystyle t=t_1+t_2=\frac{v_0}{2a_1}+\frac{2s}{v_0}=\frac{v_0}{2g\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}+\frac{2h}{v_0\text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ a végzett munka pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=W_1+W_2=\frac{v_0^{2}m\left(2\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{2\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Az I. eset megvalósulásának feltétele: $s_1<s$, képleteinket behelyettesítve és $v_0$-t kifejezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0<\sqrt[]{2gh\left(\mu \text{ctg}\alpha -1\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ II. és III. eset, 1. lejtő: A test végig $a_1$ gyorsulással gyorsul, így $v_1=\sqrt[]{2a_{1}s}$ sebességre gyorsul fel. A szükséges idő: $t_1=v_1/a_1$. A munkavégzést a fentiekhez hasonlóan számíthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_1=t_1{v}_0\mu mg\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$   II. eset, 2. lejtő: Amíg a test gyorsul, addig $F$ és $S$ egy irányba mutat, így a test gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_2=\frac{F+S}{m}=g\left(\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ a gyorsulás ideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle t\text{'}=\frac{v_0-v_1}{a_2}\mathrm{,}}\end{array}$ a felgyorsuláshoz szükséges út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_2=v_{1}t\text{'}+\frac{a_2}{2}{\left(t\text{'}\right)}^2=\frac{v_0^2-v_1^2}{2a_2}\mathrm{.}}\end{array}$ A lejtő aljára a test $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=t\text{'}+\frac{s-s_2}{v_0}}\end{array}$ idő alatt ér le. A végzett munkát hasonlóan számíthatjuk, mint az I. eset 1. lejtőnél: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_2=t\text{'}{v}_{0}S-\left(s-s_2\right)F\mathrm{.}}\end{array}$ Így a II. esetben az összes idő $t=t_1+t_2$, ahová összefüggéseinket beírva a következőt kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2h}{g\text{sin}\alpha \left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}}+\frac{v_0-\sqrt[]{\frac{2gh\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{\text{sin}\alpha }}}{g\left(\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\frac{4gh\mu \text{cos}\alpha -v_0^2\text{sin}\alpha }{2g\text{sin}\alpha \cdot v_0\left(\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Hasonlóan kapjuk az összes munkavégzést: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle W=\mu m\text{cos}\alpha \cdot v_0\left(\sqrt[]{\frac{2gh}{\text{sin}\alpha \left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}}+\frac{v_0-\sqrt[]{\frac{2gh\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{\text{sin}\alpha }}}{\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha }\right)-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -m\frac{4gh\text{cos}\alpha -v_0^2\text{sin}\alpha }{2\left(\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ III. eset, 2. lejtő: Itt a test végig $a_2$ gyorsulással gyorsul, a mozgás idejét az $s=v_1{t}_2+\left(a_2/2\right)t_2^2$ összefüggésből számolhatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=\frac{\sqrt[]{v_1^2+2a_{2}s}-v_1}{a_2}\mathrm{.}}\end{array}$ A végzett munka: $W_2=t_2{v}_{0}S$. A III. esetben az összes idő: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2h}{g\text{sin}\alpha \left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}}+\frac{\sqrt[]{\frac{4gh\mu \text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }}-\sqrt[]{\frac{2gh\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{\text{sin}\alpha }}}{g\left(\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Az összes munka: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\mu m{v}_0\text{cos}\alpha \left(\sqrt[]{\frac{2gh}{\text{sin}\alpha \left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}}+\frac{\sqrt[]{\frac{4gh\mu \text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }}-\sqrt[]{\frac{2gh\left(\mu \text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{\text{sin}\alpha }}}{\mu \text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha }\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A feladatban megadott rendszerben a legkönnyebben $v_0$ változtatható, ezért az eredményeinket $v_0$ függvényében ábrázoljuk sematikusan (2. ábra).     2. ábra    Pálinkás István (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)